Module sur un anneau

Soit A un anneau (unitaire), dont la multiplication sera notée par simple juxtaposition.

Un A-module est la donnée (M, +, •) d'un ensemble M, d'une loi de composition interne + dans M qui fait de M un groupe abélien[3] et d'une loi externe • de A × M dans M vérifiant, pour tous éléments a et b de A et x, y de M :

• ${\displaystyle a\cdot (x+y)=a\cdot x+a\cdot y}$ (distributivité de • par rapport à l'addition dans M)
• ${\displaystyle (a+b)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x}$ (distributivité de • par rapport à l'addition dans A)

  Remarque : la loi + du membre de gauche est celle de l'anneau A et la loi + du membre de droite est celle du groupe M.

• ${\displaystyle 1\cdot x=x}$[4].

Un A-module à gauche (ou encore un module à gauche sur A) est un A-module où :

• ${\displaystyle (ab)\cdot x=a\cdot (b\cdot x)}$

Un A-module à droite est un A-module où :

• ${\displaystyle (ab)\cdot x=b\cdot (a\cdot x)}$

La seule différence entre un A-module à gauche et un A-module à droite est donc que dans le cas d'un A-module à gauche (M, +, •), on a la relation (ab)•x = a•(b•x) (pour a et b dans A et x dans M), alors que dans le cas d'un A-module à droite, c'est (ab)•x = b•(a•x). En particulier, la loi externe d'un A-module à droite (M, +, •) part de l'ensemble A × M, aussi bien que la loi externe d'un A-module à gauche (M, +, •)[5].

Avec ces définitions, les A-modules à droite sont exactement les A^op-modules à gauche, où A^op désigne l'anneau opposé de A. Cela justifie que dans la suite, on se restreigne à l'étude des modules à gauche. Si l'anneau A est commutatif (auquel cas il est égal à son opposé), les A-modules à gauche sont exactement les A-modules à droite et on dit simplement « A-module ».

Pour a dans A et x dans M, on note couramment a•x multiplicativement (par juxtaposition) ; dans le cas d'un A-module à gauche on désigne a•x par ax, de sorte que, pour a, b dans A et x dans M, on a l'égalité a(bx) = (ab)x (ce qui permet d'écrire sans ambiguïté abx) ; dans le cas d'un A-module à droite, on désigne plutôt a•x par xa, de sorte que, pour a, b dans A et x dans M, on a l'égalité (xa)b = x(ab).

On commet couramment l'abus de langage d'identifier un module à gauche (resp. à droite) (M, +, •) et l'ensemble M. Par exemple, on dit « Soient M un A-module à gauche et P une partie de M », en désignant par la première lettre M le module et par la seconde ce qu'on pourrait appeler l'ensemble sous-jacent du module.

On montre facilement que, (M, +, •) étant un A-module à gauche ou à droite, a étant un élément de A et x un élément de M, on a les relations :

• a • 0 = 0 (où 0 désigne le neutre de l'addition dans M) et
• 0 • x = 0 (où le 0 de gauche désigne le neutre de l'addition dans A et le 0 de droite désigne le neutre de l'addition dans M).

On laisse le lecteur traduire ces égalités en notations multiplicatives (différentes pour les modules à gauche et les modules à droite).

• Lorsque A est un corps commutatif, on retrouve la structure habituelle de A-espace vectoriel. Dans ce cas, les éléments de A sont appelés les scalaires, les éléments de M sont appelés les vecteurs. Plus généralement, d'ailleurs, si K est un corps non forcément commutatif, on considère des K-espaces vectoriels à gauche (resp. à droite), qui ne sont autres que les modules à gauche (resp. à droite) sur l'anneau K.
• A, muni de sa propre loi de groupe additif et, en guise de loi « externe », de sa multiplication A × A → A : (a, b) ↦ ab, est un A-module à gauche, qu'on note parfois[6] A_s.
• L'anneau opposé de A, muni de sa propre loi de groupe additif et, en guise de loi « externe », de sa multiplication A × A → A : (a,b) ↦ ba (où ba correspond à la multiplication dans A) est un A-module à droite, qu'on note parfois[6] A_d.
• L'ensemble des vecteurs du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs, autrement dit l'ensemble des entiers de Gauss, forme un ℤ-module.
• Tout groupe abélien est automatiquement un ℤ-module pour la loi externe définie par :
  • pour n > 0, n ∙ x = x + … + x avec n termes x,
  • pour n = 0, 0 ∙ x = 0,
  • pour n < 0, n ∙ x = –((–n) ∙ x), l'opposé de (–n) ∙ x.
    Cette loi est la seule qui munisse un groupe abélien d'une structure de ℤ-module. Il y a donc équivalence entre la notion de ℤ-module et celle de groupe abélien.
• La structure de A-module apparaît dans celle d'algèbre sur un anneau.
• Si M est un groupe abélien et si f est un endomorphisme de groupe de M, alors on peut définir la loi externe f ∙ x = f(x) qui confère à M une structure de End(M)-module.
• Si M est un espace vectoriel, on peut faire la même chose avec des endomorphismes d'espaces vectoriels au lieu de groupes. Par exemple, l'espace vectoriel ℝⁿ à n dimensions est un module à gauche sur ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$ via la multiplication matricielle.
• Si M est un A-module à gauche, l'ensemble des applications d'un ensemble S vers M est un A-module à gauche, pour les lois ${\displaystyle +}$ et ${\displaystyle \cdot }$ définies par ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ et ${\displaystyle (r\cdot f)(x)=r\cdot (f(x))}$.
• Un espace vectoriel E sur un corps commutatif K peut être considéré comme un module sur l'anneau principal K[X], et par ce biais la majeure partie des propriétés de l'algèbre linéaire peut être démontrée[7].
  Cette structure de module est la suivante : étant donné ${\displaystyle u\in L_{K}(E)}$ fixé, pour tout ${\displaystyle \left(p,x\right)\in K[X]\times E}$, on pose ${\displaystyle p.x=p(u).x\in E}$, avec ${\displaystyle p(u)\in L_{K}(E)}$ car cet ensemble a une structure d'algèbre sur K.

Le premier axiome montre que, pour ${\displaystyle a\in A}$, l'application ${\displaystyle \psi _{a}:x\mapsto a\cdot x}$ est un endomorphisme du groupe M. Les trois axiomes suivants traduisent quant à eux le fait que l'application ${\displaystyle a\mapsto \psi _{a}}$ est un morphisme (unitaire) de l'anneau A dans l'anneau des endomorphismes (de groupe) de M, noté End(M).

Réciproquement, la donnée d'un morphisme d'anneaux unitaires ${\displaystyle \psi }$ : A → End(M) fournit à M une structure de A-module (à gauche) via la loi ${\displaystyle a\cdot x=\psi (a)(x)}$. Une structure de A-module est donc équivalente à la donnée d'un morphisme A → End(M).

Un tel morphisme A → End(M) est appelé une représentation de A sur le groupe abélien M. Une représentation est dite fidèle si elle est injective. En termes de module, cela signifie que si pour tout vecteur x de M, a ∙ x = 0, alors a = 0.

Ceci est une généralisation de ce que l'on trouve dans la théorie des représentations des groupes, où l'on définit une représentation d'un groupe G sur un K-espace vectoriel comme un morphisme (unitaire) de l'algèbre du groupe G, K[G] vers End(V), autrement dit, où l'on donne une structure de K[G]-module à V.

Soit M un A-module à gauche, et N une partie non vide de M. On dit que N est un sous-module (à gauche) de M si les conditions suivantes sont respectées :

• N est un sous-groupe de (M,+) ;
• Pour tout ${\displaystyle a\in A,x\in N,a\cdot x\in N}$.

Autrement dit, un sous-module est une partie linéairement stable.

Exemples

• Deux cas très importants sont celui des sous-modules du A-module à gauche A_s et celui des sous-modules du A-module à droite A_d : ce sont, respectivement, les idéaux à gauche et les idéaux à droite de l'anneau A.
• Si le module est un espace vectoriel, on parle de sous-espace vectoriel (ou encore de sous-espace).
• Dans un groupe abélien, considéré comme ℤ-module (voir supra), les sous-modules sont exactement les sous-groupes[2].

Si on considère une famille de modules (${\displaystyle M_{i})_{i\in I}}$ sur un même anneau A, on peut munir l'ensemble produit ${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}}$ d'une structure de module en définissant les lois suivantes :

• Loi interne : ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}+(y_{i})_{i\in I}=(x_{i}+y_{i})_{i\in I}}$
• Loi externe : ${\displaystyle a\cdot (x_{i})_{i\in I}=(a\cdot x_{i})_{i\in I}}$

Le module ainsi défini s'appelle le module produit. Les projections ${\displaystyle p_{i}:(x_{j})_{j\in I}\mapsto x_{i}}$ sont alors des applications linéaires surjectives. Un exemple important de produit de modules est celui où tous les modules facteurs sont identiques à un même module M ; leur produit ${\displaystyle M^{I}}$ n'est alors autre que l'ensemble des applications de I dans M.

Soit ${\displaystyle (M_{i})_{i\in I}}$ une famille de A-modules, on note leur produit ${\displaystyle M=\prod _{i\in I}M_{i}}$. L'ensemble E des éléments de M dont toutes les composantes sauf un nombre fini sont nulles est appelé somme directe externe de la famille de modules ${\displaystyle (M_{i})_{i\in I}}$ et il est noté :

${\displaystyle E=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$

C'est un sous-module de ${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}}$. Dans le cas où I est fini, la somme directe E et le produit M sont évidemment confondus.

Si M est un module, et ${\displaystyle (M_{i})_{i\in I}}$ est une famille de sous-modules de M, on dit que la famille est en somme directe si :

Pour toute partie J finie de I, pour tout ${\displaystyle (x_{j})_{j\in J},\sum _{j\in J}x_{j}=0\Rightarrow \forall j\in J,x_{j}=0}$

Dans ce cas, la somme ${\displaystyle \sum _{i\in I}M_{i}}$, appelée somme directe interne, est isomorphe à la somme directe externe et elle est également notée ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$.

À deux modules M et N sur un anneau commutatif A est associé un A-module M⊗_AN tel que pour tout A-module F, les applications bilinéaires de M×N dans F correspondent aux applications linéaires de M⊗_AN dans F[8].

• Théorème des facteurs invariants
• Catégorie des modules

• Gema-Maria Díaz-Toca, Henri Lombardi et Claude Quitté, Modules sur les anneaux commutatifs - Cours et exercices, Calvage et Mounet, 2014
• Grégory Berhuy, Modules : théorie, pratique… et un peu d’arithmétique, Calvage et Mounet, 2012