Catégorie des modules

Soit C une catégorie monoïdale et R un monoïde de C. La catégorie des modules sur R, notée R-Mod, est la catégorie définie ainsi :

• Les objets sont les R-modules[1] dans C, c'est-à-dire les couples (A, M) avec A un anneau commutatif et M un A-module ;
• Les morphismes sont les homomorphismes de modules, c'est-à-dire les couples (ϕ, μ) constitués d'un morphisme d'anneaux ϕ : A → B et d'un morphisme de A-modules ${\displaystyle \mu :M\to A\otimes _{\phi }M}$. La composition est la composition usuelle de fonctions, et l'identité est la fonction identité.

On peut munir les hom-set de R-Mod d'une structure de groupe abélien. En effet, si M, N sont deux objets, et si ${\displaystyle f_{1},f_{2}\in \mathrm {Hom} _{R{\text{-}}\mathrm {Mod} }(M,N)}$, on peut définir

${\displaystyle (f_{1}+f_{2}):m\mapsto f_{1}(m)+f_{2}(m)}$

et la composition de morphismes est donnée par le produit tensoriel issu de la catégorie Ab des groupes abéliens :

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R{\text{-}}\mathrm {Mod} }(A,B)\otimes \mathrm {Hom} _{R{\text{-}}\mathrm {Mod} }(B,C)\to \mathrm {Hom} _{R{\text{-}}\mathrm {Mod} }(A,C)}$

ce qui en fait une catégorie Ab-enrichie (donc préadditive). En étendant cette structure à celle d'un R-module, le produit tensoriel de modules permet de doter R-Mod d'une structure de catégorie monoïdale, avec R pour unité. Elle possède en outre un foncteur Hom interne donné par ce produit tensoriel, qui en fait une catégorie monoïdale fermée.