Noyau (théorie des catégories)

Considérons dans une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ deux flèches ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ de même source ${\displaystyle A}$ et de même but ${\displaystyle B}$. Une flèche ${\displaystyle k:K\rightarrow A}$ de but ${\displaystyle A}$ est dite noyau ou égalisateur[1] du couple ${\displaystyle (u,v)}$ si elle vérifie les deux propriétés suivantes :

(1) On a uk=vk

(2) Pour toute flèche ${\displaystyle x:K\rightarrow A}$ telle que l'on ait ${\displaystyle ux=vx}$, il existe une flèche unique ${\displaystyle x':X\rightarrow K}$ telle que ${\displaystyle x=kx'}$[2] - [3] - [4].

remarque : un noyau n'existe pas nécessairement. Si la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est telle que tout couple de flèches ${\displaystyle (u,v)}$ ayant même source et même but admette un noyau, on dit que la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ admet des noyaux[5].

• Tout noyau est un monomorphisme.
• L'objet K n'existe qu'à un isomorphisme près ; on fait parfois l'abus de langage consistant à dire : "le" noyau de (u,v) et l'on écrira ${\displaystyle k=Ker(u,v)}$. Si la flèche k est évidente à partir de ${\displaystyle K}$, on dira encore que ${\displaystyle K}$ est le noyau du couple ${\displaystyle (u,v)}$ et on écrira même ${\displaystyle K=Ker(u,v)}$[5].

• Plaçons-nous dans Ens. Soit u et v deux applications d'un ensemble A dans un ensemble B. Le sous-ensemble K de A formé par les éléments x de A tels que ux=vx, est tel que l'injection de K dans A est un noyau du couple (u,v) (on remarquera que K peut être vide.)
• Plaçons-nous dans Grp. Le noyau du couple (u,v) est le sous-groupe H de A ayant pour ensemble sous-jacent le noyau (dans Ens) du couple d'applications (|u|,|v|). En particulier, si v est l'homomorphisme de A dans B qui fait correspondre à tout élément de A l'élément unité de B, le noyau du couple (u,v) est le noyau de l'homomorphisme u au sens habituel de la théorie des groupes.