Monoïde (théorie des catégories)

Soit ${\displaystyle \langle C,\otimes ,I\rangle }$ une catégorie monoïdale. Un triplet ${\displaystyle (M,\mu ,\eta )}$ où

• M est un objet de la catégorie C ;
• ${\displaystyle \mu }$ est un morphisme ${\displaystyle M\otimes M\to M}$ appelé « multiplication » ;
• ${\displaystyle \eta }$ est un morphisme ${\displaystyle I\to M}$ appelé « unité » ;

est appelé monoïde lorsque les diagrammes suivants commutent :

avec ${\displaystyle \alpha }$ l'associativité, ${\displaystyle \lambda }$ l'identité à gauche et ${\displaystyle \rho }$ l'identité à droite de la catégorie monoïdale.

De manière duale, un comonoïde est un monoïde sur la catégorie opposée ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$.

Une définition équivalente est qu'un monoïde est une catégorie C-enrichie ne comportant qu'un unique objet.

On peut définir la catégorie ${\displaystyle \mathrm {Mon} (C)}$ des monoïdes sur C ayant :

• les monoïdes pour objets ;
• les morphismes préservant la structure de monoïde pour flèches.

Si ${\displaystyle (M,\mu ,\eta )}$ et ${\displaystyle (M',\mu ',\eta ')}$ sont deux monoïdes, un morphisme ${\displaystyle f:M\to M'}$ préserve la structure de monoïde lorsque

• ${\displaystyle f\circ \mu =\mu '\circ (f\otimes f)}$
• ${\displaystyle f\circ \eta =\eta '}$.

En particulier les foncteurs monoïdaux (en) sont toujours des morphismes de monoïdes.

Par ailleurs,

${\displaystyle \mathrm {Mon} (C)=\mathrm {Alg} _{C}\mathrm {Assoc} }$

c'est-à-dire que la catégorie des monoïdes sur C s'identifie à la catégorie des algèbres sur l'opérade associative.

• Un monoïde dans ${\displaystyle \langle \mathrm {Set} ,\times ,1\rangle }$ est un monoïde usuel de l'algèbre ;
• Un monoïde dans ${\displaystyle \langle \mathrm {Ab} ,\otimes _{\mathbb {Z} },\mathbb {Z} \rangle }$ est un anneau ;
• Un monoïde dans ${\displaystyle \langle k{\text{-}}\mathrm {Vect} ,\otimes ,1\rangle }$ est une k-algèbre ;
• Pour toute catégorie C, la catégorie des endomorphismes [C, C] est monoïdale pour la composition, et un monoïde dans cette catégorie est une monade.

• (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]
• Porst, Hans-E. On categories of monoids, comonoids, and bimonoids, Quaestiones Mathematicae 31.2 (2008): 127-139.