Diagramme commutatif
En mathématiques, et plus spécialement dans les applications de la théorie des catégories, un diagramme commutatif est un diagramme d'objets et de morphismes tels que, si l'on suit à travers le diagramme un chemin d'un objet à un autre, le résultat par composition des morphismes ne dépend que de l'objet de départ et de l'objet d'arrivée.
Exemples
- Cette définition peut être visualisée par le dessin élémentaire ci-contre. On se place dans la catégorie Ens. Les objets sont les ensembles A, B et C en réalité tous égaux ici à {1,2,3,4}. Les flèches sont les applications f, g et h de Hom(A,A):=AA, elles-mêmes représentées par des diagrammes sagittaux. Par exemple f=(A,A,G) avec G:={(1,1),(2,3),(3,1),(4,2)} le graphe fonctionnel de f. Ce sont des constructions abstraites de la théorie des ensembles, mais que l'on visualise fort bien sur le dessin fourni. Ce dessin montre en outre qu'il revient au même d'aller directement de l'ensemble A à l'ensemble C par la composée g∘f ou de passer par B en commençant par f et en continuant par g. On exprime aussi ce fait en disant que "le diagramme commute" ou qu'il est "commutatif"[1]( on prendra garde au fait que les diagrammes sagittaux représentent les fonctions; le diagramme commutatif proposé ici- autrement dit tout le dessin- représente une définition concernant ces fonctions.)
- Le premier théorème d'isomorphisme est un triangle commutatif comme suit :
Puisque f = h ∘ φ, le diagramme de gauche est commutatif ; et puisque φ = k ∘ f, il en est de même pour le diagramme de droite.
Sur le diagramme de gauche, il est possible d'aller de G à im f par deux chemins différents : soit directement grâce à l'application f, soit par composition des applications h et φ. De même, le diagramme de droite est commutatif, puisqu'on peut aller de G à G/ ker f soit directement par l'application φ, soit par la composition de k par f en passant par l'objet intermédiaire im f.
De la même manière, le carré ci-dessus est commutatif si y ∘ w = z ∘ x.
Vérification de la commutativité
La commutativité est aisément compréhensible pour un polygone avec un nombre fini de côtés (y compris seulement 1 ou 2), et un diagramme est commutatif si tout sous-diagramme polygonal est commutatif.
références
- Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff et Jean Weil, Algèbre et solutions développées des exercices : structures fondamentales, les grands théorèmes, théorie de Galois, Paris, J. Gabay, (ISBN 2-87647-138-8 et 978-2-87647-138-2, OCLC 490130463), p. 7
Voir aussi
- Lemme des cinq
- Lemme des neuf (en)
- Lemme du serpent
- Lemme du zig-zag (en)