Catégorie monoïdale

Une catégorie monoïdale est une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ munie :

• D'un bifoncteur ${\displaystyle \otimes$ :{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\longrightarrow {\mathcal {C}}} appelé produit tensoriel.
• D'un objet I appartenant à ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ appelé « objet unité ».
• D'un isomorphisme naturel α appelé « associateur » tel que pour tous objets A, B et C, α_A,B,C soit un isomorphisme de ${\displaystyle (A\otimes B)\otimes C}$ vers ${\displaystyle A\otimes (B\otimes C)}$. Autrement dit, α est un isomorphisme naturel du foncteur ${\displaystyle (-\otimes -)\otimes -}$ vers le foncteur ${\displaystyle -\otimes (-\otimes -)}$.
• De deux isomorphismes naturels λ et ρ induisant, pour tout objet A, des isomorphismes ${\displaystyle \lambda _{A}:I\otimes A\longrightarrow A}$ et ${\displaystyle \rho _{A}:A\otimes I\longrightarrow A}$.

Les conditions de cohérence pour ces transformations naturelles s'expriment par la commutativité des diagrammes suivants, appelés respectivement identité du triangle et identité du pentagone.

• La catégorie des ensembles Set munie du produit cartésien, est une catégorie monoïdale. Une unité est donnée par un singleton.
• La catégorie des ensembles Set munie de la réunion disjointe, est une catégorie monoïdale. L'unité est donnée par l'ensemble vide.
• Si k est un corps commutatif, la catégorie des k-espaces vectoriels munie du produit tensoriel usuel est une catégorie monoïdale. Une unité est donnée par k.
• Plus généralement, si R est un anneau commutatif, la catégorie des R-modules munie du produit tensoriel usuel est une catégorie monoïdale. Une unité est donnée par R.
• La catégorie des espaces vectoriels munie de la somme directe est une catégorie monoïdale, l'unité étant donnée par le singleton réduit au vecteur nul.
• Si A est une algèbre associative, la catégorie des A-modules n'est pas une catégorie monoïdale en général. Il faut des conditions supplémentaires sur A, par exemple que A soit une algèbre de Hopf.

• Catégorie cartésienne
• Catégorie enrichie
• Catégorie monoïdale tressée