Catégorie monoïdale tressée

Soit ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,\alpha ,\lambda ,\rho )}$ une catégorie monoïdale. On note ${\displaystyle \otimes ^{op}}$ le produit tensoriel opposé à ${\displaystyle \otimes }$, c'est-à-dire le bifoncteur défini par ${\displaystyle A\otimes ^{op}B=B\otimes A}$. On appelle tressage sur ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ un isomorphisme naturel ${\displaystyle \beta }$ de ${\displaystyle -\otimes -}$ vers ${\displaystyle -\otimes ^{op}-}$. Autrement dit, pour tous objets ${\displaystyle A,B}$ de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle \beta }$ induit un isomorphisme

${\displaystyle \beta _{A,B}:A\otimes B\longrightarrow B\otimes A}$

Une catégorie monoïdale tressée est dite symétrique si, de plus, ${\displaystyle \beta _{B,A}^{-1}=\beta _{A,B}}$.

Si ${\displaystyle V}$ est un objet de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, quitte à fixer un parenthésage (puisque le produit tensoriel n'est associatif qu'à isomorphisme près), cela a un sens de considérer l'objet ${\displaystyle V^{\otimes n}=V_{1}\otimes V_{2}\otimes \dots \otimes V_{n}}$. Puisque les ${\displaystyle V_{i}}$ sont tous égaux à ${\displaystyle V}$, on a en particulier

${\displaystyle V_{1}\otimes \dots V_{i}\otimes V_{i+1}\otimes \dots \otimes V_{n}=V_{1}\otimes \dots V_{i+1}\otimes V_{i}\otimes \dots \otimes V_{n}}$

où il s'agit cette fois ci d'une véritable égalité et non d'un isomorphisme. Par ailleurs, ${\displaystyle \beta }$ induit un isomorphisme

${\displaystyle \beta _{i}:V_{1}\otimes \dots V_{i}\otimes V_{i+1}\otimes \dots \otimes V_{n}\rightarrow V_{1}\otimes \dots V_{i+1}\otimes V_{i}\otimes \dots \otimes V_{n}}$

Ainsi, les applications ${\displaystyle \beta _{i}}$ pour ${\displaystyle i=1\dots n-1}$ peuvent être considérées comme des éléments du groupe des automorphismes de ${\displaystyle V^{\otimes n}}$. On en déduit qu'il existe un morphisme de groupes

${\displaystyle B_{n}\longrightarrow \mathrm {Aut} (V^{\otimes n})}$

qui envoie ${\displaystyle \sigma _{i}}$ sur ${\displaystyle \beta _{i}}$.

Produit tensoriel de deux modules