Produit tensoriel de deux modules

Lorsque M, N et F sont trois A-modules, on appelle application bilinéaire une application f : M × N → F, telle que :

• f est linéaire à gauche, c'est-à-dire que ${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in A,\forall x,y\in M,\forall z\in N,f(\alpha x+\beta y,z)=\alpha f(x,z)+\beta f(y,z)}$.
• f est linéaire à droite, c'est-à-dire que ${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in A,\forall x\in M,\forall y,z\in N,f(x,\alpha y+\beta z)=\alpha f(x,y)+\beta f(x,z)}$.

Pour ramener l'étude des applications bilinéaires à celle des applications linéaires, on se propose de définir un module M⊗N et une application bilinéaire ${\displaystyle \varphi :M\times N\to M\otimes N}$ tels que toute application bilinéaire ${\displaystyle f:M\times N\to F}$ se factorise de manière unique à droite par ${\displaystyle \varphi }$, c'est-à-dire qu'il existe une et une seule application linéaire ${\displaystyle g:M\otimes N\to F}$ telle que ${\displaystyle f=g\circ \varphi }$.

On va prouver qu'un tel couple ${\displaystyle (M\otimes N,\varphi )}$ existe et est unique à un isomorphisme près.

Soient M et N deux A-modules. L'espace C = A^{(M × N)} est le A-module des combinaisons linéaires formelles (à coefficients dans A) d'éléments de M × N. Un tel espace peut également être défini de manière équivalente comme le A-module des applications de M × N dans A nulles partout sauf sur un nombre fini d'éléments. C est un A-module libre dont ${\displaystyle (e_{(x,y)})_{(x,y)\in M\times N}}$ est la base canonique, en ayant défini ${\displaystyle e_{(x,y)}}$ comme la combinaison linéaire formelle ayant pour seul coefficient non nul le coefficient devant ${\displaystyle (x,y)}$, où ce coefficient est le neutre multiplicatif de A, autrement dit ${\displaystyle e_{(x,y)}(x,y)=1}$ et ${\displaystyle e_{(x,y)}(u,v)=0}$ pour ${\displaystyle (u,v)\not =(x,y)}$.

On souhaite que les éléments de la forme

• ${\displaystyle e_{(x+y,z)}-e_{(x,z)}-e_{(y,z)}}$
• ${\displaystyle e_{(x,y+z)}-e_{(x,y)}-e_{(x,z)}}$
• ${\displaystyle e_{(\alpha x,y)}-\alpha e_{(x,y)}}$
• ${\displaystyle e_{(x,\alpha y)}-\alpha e_{(x,y)}}$

soient identifiés comme nuls. On appelle donc D le sous-module de C engendré par les éléments de la forme précédente. On appelle produit tensoriel de M et N, et l'on note M⊗_AN le module quotient C/D. Il est important de préciser l'anneau des scalaires A dans la notation du produit tensoriel. Néanmoins, si la situation est assez claire, on peut se permettre de ne pas trop surcharger les notations. On note ${\displaystyle x\otimes y}$ la classe de ${\displaystyle e_{(x,y)}}$ dans M⊗_AN.

Remarque : dans le module quotient M⊗N, l'image de M×N par ${\displaystyle \varphi }$ est un cône.

Si les deux A-modules M et N sont libres (par exemple si l'anneau commutatif A est un corps et M, N deux espaces vectoriels sur ce corps) alors leur produit tensoriel est libre : si (m_i)_i et (n_j)_j sont des bases respectives de M et N, une base de M⊗_AN est (m_i⊗n_j)_(i,j).

En particulier, le produit tensoriel de deux espaces vectoriels M et N a pour dimension dim(M)×dim(N).

Par exemple, le complexifié (en) d'un espace vectoriel réel E (cas particulier d'extension des scalaires), qui est par définition l'espace vectoriel complexe ℂ⊗_ℝE, a, vu comme espace vectoriel réel, une dimension double de celle de E : tout vecteur de ℂ⊗_ℝE est somme d'un produit tensoriel de 1 par un vecteur de E et de i par un autre vecteur de E et si (e_j)_j est une base de E (sur ℝ), alors une base sur ℝ de ℂ⊗_ℝE est formée des 1⊗e_j et des i⊗e_j (tandis qu'une base sur ℂ de ℂ⊗_ℝE est (1⊗e_j)_j).

Ce qui a été fait précédemment se généralise sans peine aux applications multilinéaires. Soit E₁, … , E_n des A-modules. On considère le module produit E = E₁×…×E_n. Une application f : E → F est dite n-linéaire si

Quels que soient l'indice i et les n – 1 éléments ${\displaystyle x_{k}\in E_{k}(k\neq i)}$, l'application partielle ${\displaystyle x_{i}\mapsto f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},\dots ,x_{n})}$ est linéaire.

Il existe un A-module que l'on note ${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{n}E_{i}}$ et une application n-linéaire ${\displaystyle \varphi$ :(x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto x_{1}\otimes x_{2}\otimes \cdots \otimes x_{n}} de E dans ${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{n}E_{i}}$ telle que pour toute application n-linéaire de E dans un module d'arrivée F, il existe une unique application linéaire ${\displaystyle g:\bigotimes _{i=1}^{n}E_{i}\to F}$ telle que ${\displaystyle f=g\circ \varphi }$.

En fait, le produit tensoriel de deux modules est associatif au sens suivant : si E, F, G sont trois A-modules, alors les modules (E⊗_AF)⊗_AG, E⊗_A(F⊗_AG) et E⊗_AF⊗_AG sont isomorphes.

Pour des A-modules E₁, … , E_n fixés, les applications multilinéaires ${\displaystyle \ E_{1}\times \cdots \times E_{n}\rightarrow F}$, où F parcourt les A-modules, sont les objets d'une catégorie, un morphisme de l'objet ${\displaystyle \ f:E_{1}\times \cdots \times E_{n}\rightarrow F}$ vers l'objet ${\displaystyle \ g:E_{1}\times \cdots \times E_{n}\rightarrow G}$ étant une application linéaire h de F dans G telle que ${\displaystyle \ g=h\circ f}$. Dans le langage des catégories, la propriété énoncée ci-dessus de l'application ${\displaystyle \varphi$ :(x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto x_{1}\otimes x_{2}\otimes \cdots \otimes x_{n}} de ${\displaystyle \ E_{1}\times \cdots \times E_{n}}$ dans ${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{n}E_{i}}$, à savoir que pour toute application n-linéaire de ${\displaystyle \ E_{1}\times \cdots \times E_{n}}$ dans un module d'arrivée F, il existe une unique application linéaire ${\displaystyle g:\bigotimes _{i=1}^{n}E_{i}\to F}$ telle que ${\displaystyle f=g\circ \varphi }$, revient à dire que ${\displaystyle \varphi }$ est un objet initial de la catégorie en question[2], ou encore : que le foncteur covariant qui à tout module F associe le module des applications multilinéaires ${\displaystyle E_{1}\times \ldots \times E_{n}\to F}$ est représenté par ${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{n}E_{i}}$[3].

Par ailleurs, pour un A-module N, fixé, la donnée d'une application bilinéaire de M × N dans F est équivalente à celle d'une application linéaire de M dans le module Hom(N, F) des applications linéaires de N dans F, si bien que le foncteur – ⊗N est adjoint à gauche du foncteur Hom(N, –), c'est-à-dire qu'on a un isomorphisme naturel :

${\displaystyle \mathrm {Hom} (M\otimes N,F)\simeq \mathrm {Hom} (M,\mathrm {Hom} (N,F)).}$

• Produit tensoriel d'algèbres
• Lemme de Yoneda