Module quotient

Soient M un module sur un anneau A et N un sous-module de M.

Le groupe (M,+) étant abélien, son sous-groupe (N,+) est normal, ce qui permet de définir le groupe quotient (M/N,+).

Sur ce groupe (M/N,+), qui est abélien, il existe une unique loi externe faisant de M/N un A-module et telle que la projection canonique ${\displaystyle \pi :M\rightarrow M/N}$ soit non seulement un morphisme de groupes, mais un morphisme de A-modules :

${\displaystyle \forall a\in A,~\forall m\in M,\qquad a.(m+N)=(am)+N~.}$

• M/M est le module trivial {0}.
• M/{0} est isomorphe à M.
• Si M est égal à l'anneau A (vu comme module à gauche sur lui-même), ses sous-modules sont les idéaux à gauche de A. Le module quotient de A par un idéal bilatère I est l'anneau quotient A/I, vu comme A-module.
• Si I est un idéal bilatère de A, la structure de A-module du quotient de M par le sous-module

${\displaystyle IM=\{\sum _{j=1}^{n}a_{j}m_{j}~|~n\in \mathbb {N} ,~a_{1},\ldots ,a_{n}\in I,~m_{1},\ldots ,m_{n}\in M\}}$

est induite par sa structure naturelle de A/I-module.

Tout morphisme de A-modules ${\displaystyle f:M\rightarrow L}$ dont le noyau contient N se factorise de façon unique par M/N, c'est-à-dire qu'il existe un unique morphisme de A-modules ${\displaystyle {\tilde {f}}:M/N\to L}$ tel que ${\displaystyle {\tilde {f}}\circ \pi =f}$.