Lemme de Yoneda

Soit ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ une catégorie localement petite, c'est-à-dire dans laquelle, pour tous objets A et X, les morphismes de A dans X forment un ensemble et pas seulement une classe.

• Un objet A de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ définit un foncteur Hom covariant h^A de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dans la catégorie Ens des ensembles par :${\displaystyle X\mapsto h^{A}(X)=\mathrm {Hom} _{C}(A,X),}$${\displaystyle f\mapsto h^{A}(f)=(g\mapsto f\circ g).}$De la sorte, on dispose d'un foncteur contravariant h^– de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dans la catégorie Fun(${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, Ens) des foncteurs covariants de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dans Ens. Tout morphisme de A dans B dans la catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ induit une transformation naturelle de h^B dans h^A. Le lemme de Yoneda affirme que toute transformation naturelle de h^B dans h^A est de cette forme ; mieux, il caractérise l'ensemble des transformations naturelles de h^A dans n'importe quel foncteur de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dans Ens.
  Le lemme de Yoneda montre que le foncteur contravariant h^– est pleinement fidèle ; la catégorie duale ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$^op se trouve ainsi plongée dans Fun(${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, Ens).
• En remplaçant ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ par ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$^op, on en déduit une version similaire, concernant le foncteur covariant h_– : A ↦ h_A = Hom_{${\displaystyle {\mathcal {C}}}$}(–, A), de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dans la catégorie de préfaisceaux Fun(${\displaystyle {\mathcal {C}}}$^op, Ens), c'est-à-dire la catégorie des foncteurs contravariants de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dans Ens. Ce foncteur h_–, appelé le plongement de Yoneda, plonge canoniquement ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dans la catégorie Fun(${\displaystyle {\mathcal {C}}}$^op, Ens), qui a l'intérêt d'être cocomplète, c'est-à-dire de posséder toutes les petites colimites. Il s'agit de la « cocomplétion universelle » de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Dans la suite, il ne sera question que de la première version.

Énoncé

Lemme de Yoneda — Pour tout objet ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, toute transformation naturelle ${\displaystyle \psi }$ de ${\displaystyle h^{A}}$ sur un foncteur ${\displaystyle T:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Ens} }$ est uniquement déterminée par l'élément de ${\displaystyle T(A)}$ défini comme l'image de ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}\!\in h^{A}(A)}$ par ${\displaystyle \psi (A)}$. Plus précisément, on dispose d'une bijection :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Nat} \!\left(\,h^{A},T\,\right)&\,{\overset {\sim }{\longrightarrow }}\,T(A)\\\psi &\longmapsto \!\psi (A)\!\left(\,\mathrm {id} _{A}\,\right).\end{aligned}}}$

En particulier, pour tous objets ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, on a :

${\displaystyle \mathrm {Nat} \!\left(\,h^{A},h^{B}\,\right)\simeq h^{B}(A)=\mathrm {Hom} _{\,{\mathcal {C}}}(B,A).}$

Injectivité

Avec les notations ci-dessus, considérons ${\displaystyle \psi }$ une transformation naturelle de h^A sur T. Pour tout élément ${\displaystyle f}$ dans ${\displaystyle h^{A}(B)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)}$, on a :

${\displaystyle f=h^{A}(f)(\mathrm {id} _{A})\,}$

En appliquant à cette identité l'application ensembliste ${\displaystyle \psi (B):h^{A}(B)\rightarrow T(B)}$, on obtient :

${\displaystyle \psi (B)(f)=\psi (B)\left[h^{A}(f)(\mathrm {id} _{A})\right]=T(f)\left[\psi (A)(\mathrm {id} _{A})\right]}$

où la seconde égalité vient de la définition d'une transformation naturelle. L'élément ${\displaystyle \psi (B)(f)}$ est donc l'image de ${\displaystyle \psi (A)(\mathrm {id} _{A})}$ par ${\displaystyle T(f)}$. De fait, en faisant varier f, on montre que ${\displaystyle \psi }$ est uniquement déterminé par ${\displaystyle \psi (A)(\mathrm {id} _{A})}$. L'application énoncée est injective.

Surjectivité

Soit un élément v de T(A). La preuve de l'injectivité permet de deviner un antécédent de v (forcément unique). Pour tout objet B de C, définissons :

${\displaystyle \psi _{v}(B):h^{A}(B)\rightarrow T(B)\,}$ ${\displaystyle f\mapsto T(f)(v)}$

Vérifions que ${\displaystyle \psi _{v}}$ est bien une transformation naturelle. Pour toute flèche g : B → C et pour tout élément f de h^A(B), on est en mesure d'écrire :

${\displaystyle T(g)\left[\psi _{v}(B)(f)\right]=T(g)\left[T(f)(v)\right]=T\left[g.f\right](v)=\psi _{v}(C)(g.f)}$

Or, la composée g.f peut être regardée comme l'image de f par h^A(g). Donc, l'identité obtenue se réécrit :

${\displaystyle T(g)\left[\psi _{v}(B)(f)\right]=\psi _{v}(C)\left[h^{A}(g)(f)\right]}$

En faisant varier f :

${\displaystyle T(g)\circ \psi _{v}(B)=\psi _{v}(C)\circ h^{A}(g)}$

Cela étant vérifié pour toute flèche g, ${\displaystyle \psi _{v}}$ est bien une transformation naturelle de h^A sur T et son image est presque par définition v (on l'a défini pour).

Théorème de représentabilité de Brown (en)