Homologie et cohomologie

Un complexe de chaînes est la donnée d'une suite de groupes abéliens ou plus généralement d'objets d'une catégorie abélienne ${\displaystyle M_{i}}$ et d'une famille d'homomorphismes, appelés opérateurs de bord ${\displaystyle \partial _{i}:M_{i}\rightarrow M_{i-1}}$, telle que : ${\displaystyle \partial _{i}\partial _{i+1}=0}$ . Les éléments de ${\displaystyle M_{i}}$ s'appellent des chaînes de degré ${\displaystyle i}$. Les éléments du noyau ${\displaystyle \ker \partial _{i}}$ s'appellent des cycles. Les éléments de l'image ${\displaystyle Im\ \partial _{i+1}}$ s'appellent des bords. Tout bord est un cycle. Les groupes d'homologie du complexe ${\displaystyle M_{*}}$ sont alors, par définition : ${\displaystyle H_{i}(M_{*},\partial _{*})=\ker \partial _{i}/Im\ \partial _{i+1}}$.

Un complexe de cochaînes est la donnée d'une suite de groupes abéliens ou plus généralement d'objets d'une catégorie abélienne ${\displaystyle \ M^{i}}$ et d'une famille d'homomorphismes, appelés opérateurs de cobord ${\displaystyle \partial ^{i}:M^{i}\rightarrow M^{i+1}}$, telle que : ${\displaystyle \partial ^{i}\partial ^{i-1}=0}$ . Les éléments de ${\displaystyle \ M^{i}}$ s'appellent des cochaînes de degré ${\displaystyle i}$. Les éléments du noyau ${\displaystyle \ker \partial ^{i}}$ s'appellent des cocycles. Les éléments de l'image ${\displaystyle Im\ \partial ^{i-1}}$ s'appellent des cobords. Tout cobord est un cocycle. Les groupes de cohomologie du complexe ${\displaystyle \ M^{*}}$ sont alors, par définition : ${\displaystyle H^{i}(M^{*},\partial ^{*})=\ker \partial ^{i}/Im\ \partial ^{i-1}}$.

On remarque que si ${\displaystyle \ M^{*}}$ est un complexe de cochaînes, on obtient un complexe de chaînes en posant ${\displaystyle \ M_{i}=M^{-i}}$. Cependant les deux terminologies existent car il peut être désagréable de modifier l'indexation.

Par exemple, si ${\displaystyle (M_{*},\partial _{*})}$ est un complexe de chaînes de groupes abéliens, posons ${\displaystyle M^{i}=\mathrm {Hom} (M_{i},\mathbf {Z} )}$ et ${\displaystyle \partial ^{i}=(\partial _{i+1})^{*}}$ (l'application transposée). Alors ${\displaystyle (M^{*},\partial ^{*})}$ est un complexe de cochaînes.