Homologie cellulaire

Si X est un CW-complexe de n-squelette X_n, les modules d'homologie cellulaire sont définis comme les groupes d'homologie du complexe de chaînes cellulaires

${\displaystyle \ldots \to H_{n+1}(X_{n+1},X_{n})\to H_{n}(X_{n},X_{n-1})\to H_{n-1}(X_{n-1},X_{n-2})\to \ldots }$

Le groupe

${\displaystyle H_{n}(X_{n},X_{n-1})}$

est le groupe abélien libre dont les générateurs sont les n-cellules de X. Pour une telle n-cellule ${\displaystyle e_{n}^{\alpha }}$, soit ${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha }:\partial e_{n}^{\alpha }\simeq S^{n-1}\to X_{n-1}}$ l'application de recollement, et considérons les applications composées

${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }:S^{n-1}\to X_{n-1}\to X_{n-1}/(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta })\simeq S^{n-1}}$

où ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$ est une (n – 1)-cellule de X et la seconde application est l'application quotient qui consiste à identifier ${\displaystyle X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }}$ à un point.

L'application bord

${\displaystyle d_{n}:H_{n}(X_{n},X_{n-1})\to H_{n-1}(X_{n-1},X_{n-2})}$

est alors donnée par la formule

${\displaystyle d_{n}(e_{n}^{\alpha })=\sum _{\beta }\deg(\chi _{n}^{\alpha \beta })e_{n-1}^{\beta }}$

où ${\displaystyle \deg(\chi _{n}^{\alpha \beta })}$ est le degré de ${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }}$ et la somme est prise sur toutes les (n – 1)-cellules de X, considérées comme les générateurs de ${\displaystyle H_{n-1}(X_{n-1},X_{n-2})}$.

On voit, d'après le complexe de chaînes cellulaires, que le n-squelette détermine toute l'homologie de dimension inférieure :

${\displaystyle \forall k<n,\quad H_{k}(X)\simeq H_{k}(X_{n}).}$

Une conséquence importante du point de vue cellulaire est que si un CW-complexe n'a pas de cellules de dimensions consécutives alors tous ses modules d'homologie sont libres. Par exemple, l'espace projectif complexe ℂℙⁿ a une structure cellulaire avec une cellule en chaque dimension paire, donc

${\displaystyle \forall k\in [0,n],\quad H_{2k}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} ~{\text{et}}~H_{2k+1}(\mathbb {CP} ^{n})=0.}$

La suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch (en) est la méthode analogue de calcul de l'homologie (ou la cohomologie) d'un CW-complexe, pour une théorie (co-)homologique généralisée arbitraire.

La caractéristique d'Euler d'un CW-complexe X de dimension n est définie par

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}}$

où c_j est le nombre de j-cellules de X.

C'est un invariant d'homotopie. En fait, elle peut s'exprimer en fonction des nombres de Betti de X :

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {rang} H_{j}(X)}$.

Démonstration

${\displaystyle H_{*}(X)}$ est[1] l'homologie d'un complexe de groupes abéliens

${\displaystyle 0\xrightarrow {d_{n+1}} \mathbb {Z} ^{c_{n}}\xrightarrow {d_{n}} \mathbb {Z} ^{c_{n-1}}\to \dots \to \mathbb {Z} ^{c_{1}}\xrightarrow {d_{1}} \mathbb {Z} ^{c_{0}}\xrightarrow {d_{0}} 0}$,

c'est-à-dire que ${\displaystyle H_{j}(X)=\ker d_{j}/\operatorname {im} d_{j+1}}$, or ${\displaystyle c_{j}=\operatorname {rang} \operatorname {im} d_{j}+\operatorname {rang} \ker d_{j}}$ donc[2]

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {rang} H_{j}(X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\left(\operatorname {rang} \ker d_{j}-\operatorname {rang} \operatorname {im} d_{j+1}\right)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}}$.

(en) Albrecht Dold, Lectures on Algebraic Topology, Springer, 1995, 2^e éd., 379 p. (ISBN 978-3-540-58660-9, lire en ligne)