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Homologie cellulaire

En mathématiques et plus précisément en topologie algébrique, l'homologie cellulaire est une théorie de l'homologie des CW-complexes. Elle coïncide avec leur homologie singulière et en fournit un moyen de calcul.

Définition

Si X est un CW-complexe de n-squelette Xn, les modules d'homologie cellulaire sont définis comme les groupes d'homologie du complexe de chaînes cellulaires

Le groupe

est le groupe abélien libre dont les générateurs sont les n-cellules de X. Pour une telle n-cellule , soit l'application de recollement, et considérons les applications composées

est une (n – 1)-cellule de X et la seconde application est l'application quotient qui consiste à identifier à un point.

L'application bord

est alors donnée par la formule

est le degré de et la somme est prise sur toutes les (n – 1)-cellules de X, considérées comme les générateurs de .

Autres propriétés

On voit, d'après le complexe de chaînes cellulaires, que le n-squelette détermine toute l'homologie de dimension inférieure :

Une conséquence importante du point de vue cellulaire est que si un CW-complexe n'a pas de cellules de dimensions consécutives alors tous ses modules d'homologie sont libres. Par exemple, l'espace projectif complexe ℂℙn a une structure cellulaire avec une cellule en chaque dimension paire, donc

Généralisation

La suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch (en) est la méthode analogue de calcul de l'homologie (ou la cohomologie) d'un CW-complexe, pour une théorie (co-)homologique généralisée arbitraire.

Caractéristique d'Euler

La caractéristique d'Euler d'un CW-complexe X de dimension n est définie par

cj est le nombre de j-cellules de X.

C'est un invariant d'homotopie. En fait, elle peut s'exprimer en fonction des nombres de Betti de X :

.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cellular homology » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, CUP, , xii+544 (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), Th. 2.35.
  2. Hatcher 2001, p. 146-147, Proof of 2.44.

Bibliographie

(en) Albrecht Dold, Lectures on Algebraic Topology, Springer, , 2e éd., 379 p. (ISBN 978-3-540-58660-9, lire en ligne)

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