Espace projectif

Pour passer de cet espace vectoriel de dimension 3 à l'espace projectif associé, on identifie a et A entre eux et avec tous les points de la droite (Aa) sauf 0. De même pour b et B, c et C. Les deux portions de surface sont deux représentants d'une même partie de l'espace projectif.

Soit K un corps, non nécessairement commutatif[1], et E un espace vectoriel sur K. Il est possible de définir une relation d'équivalence sur E\{0}, la colinéarité : deux vecteurs non nuls sont équivalents si et seulement s'ils engendrent la même droite vectorielle. L'espace projectif associé à E, noté P(E), est l'ensemble quotient pour cette relation d'équivalence ; c'est donc l'ensemble de toutes les droites vectorielles de E[2] - [3] (privées du vecteur nul).

L'exemple le plus immédiat est celui où l'on part de l'espace Kⁿ⁺¹ : l'espace projectif associé est noté KPⁿ = P_n(K) = P(Kⁿ⁺¹) et appelé espace projectif standard de dimension n sur K. Certains de ces espaces sont très étudiés comme le plan projectif réel ℝP², qui fournit un exemple très simple de surface non orientable, ou la droite projective complexe ℂP¹, appelée fréquemment sphère de Riemann et qui est le cadre naturel de l'analyse complexe. Le phénomène de "perte d'une dimension" dans la dénomination des espaces obtenus est cohérent avec l'opération de quotient effectuée, et se justifie pleinement quand l'espace projectif est muni d'une structure de variété.

Les éléments de l'espace projectif sont les droites de l'espace vectoriel E. Cependant, l'opération de passage au quotient revient à les considérer comme les objets de base de nouvel espace, et elles sont appelées points de l'espace projectif P(E). De la même façon, aux plans vectoriels de E correspondent des parties de P(E) qui sont de façon naturelle des droites projectives, appelées les droites de P(E). De façon générale les sous-espaces vectoriels de E de dimension k + 1 sont en correspondance bijective avec les sous-espaces projectifs de P(E) de dimension k[4].

Dans l'espace projectif P(E) il n'y a plus de point privilégié par lequel passeraient les différents sous-espaces. Il n'y a pas non plus de phénomène de parallélisme : deux droites distinctes d'un plan projectif ont nécessairement un point commun, et plus généralement deux sous-espaces de P(E) dont la somme des dimensions dépasse celle de P(E) ont une intersection non vide[4].

Tout automorphisme linéaire de E donne aussi une symétrie de P(E). Dans l'interprétation concrète dans l'espace ambiant, ces transformations projectives peuvent être vues comme des changements de perspective. Lorsque le corps de base est commutatif, le groupe de ces symétries, appelé groupe projectif linéaire (en), est le quotient du groupe général linéaire de E par le sous-groupe des multiples non nuls de l'identité[5].

Lorsque l'espace vectoriel E possède une base, il est possible d'associer à chaque point a de P(E) les différents n+1-uplets de coordonnées des vecteurs de E dont il est issu. On dit que cela constitue un système de coordonnées homogènes de a. Ainsi dans le plan projectif, si un point a un triplet de coordonnées homogènes ${\displaystyle (s,t,u)}$, les autres triplets seront les ${\displaystyle (x.s,x.t,x.u)}$ pour ${\displaystyle x}$ scalaire non nul.

On peut en fait manipuler de telles coordonnées sans revenir à l'espace vectoriel E. On introduit pour cela la notion de repère projectif. Il s'agit d'un (n + 2)-uplet de points de P(E), tels qu'aucun d'eux n'est inclus dans l'espace projectif engendré par n autres. À un tel repère est associée une base de E, unique à multiplication près par un scalaire non nul près. Ainsi on peut attribuer la notion de coordonnées homogènes au repère projectif[6].

Lorsque le corps de base est commutatif, les transformations projectives envoient tout repère projectif sur un repère projectif. Elles sont caractérisées par l'image d'un tel repère[7].

L'espace projectif réel peut être vu comme une sphère dont chaque point est identifié à son antipodal. On peut aussi le voir comme un hémisphère dont le bord a subi une telle identification des points antipodaux.

Lors du passage au quotient qui définit l'espace projectif réel ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$, il est possible de se limiter aux vecteurs de norme 1. Ainsi l'espace projectif peut être obtenu comme un quotient de la sphère Sⁿ de dimension n par l'application -Id qui identifie chaque point avec le point antipodal. Cela lui confère une structure naturelle de variété différentielle compacte de dimension n, orientable si et seulement si n est impair[8]. De plus ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ est muni d'une métrique riemannienne canonique, la projection de la sphère sur l'espace projectif étant un revêtement riemannien à deux feuillets. Il s'agit notamment d'une isométrie locale : l'espace projectif est lui aussi de courbure sectionnelle constante valant 1. Les géodésiques sont les images de celles de la sphère, et sont ${\displaystyle \pi }$-périodiques[9].

L'espace ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ a aussi une structure de CW-complexe, avec une cellule en chaque dimension inférieure ou égale à n : l'application d'attachement de sa n-cellule à son (n – 1)-squelette ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n-1}}$ est la projection canonique, de S^{n – 1} sur son 2-quotient ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n-1}}$[10].

L'espace ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{1}}$ est un cercle. Pour n=2, le plan projectif réel est une surface non orientable qu'il n'est pas possible de représenter parfaitement dans l'espace ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, c'est-à-dire qu'il n'en existe pas de plongement. À défaut, on dispose de représentations classiques, avec des auto-intersections : la surface de Boy, la surface romaine. Pour n=3, en utilisant les quaternions, la sphère S³ peut être munie d'une structure de groupe, qui passe à ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{3}}$ et qui en fait un groupe de Lie isomorphe au groupe SO(3)[11].

Pour ${\displaystyle n\geqslant 2}$, le groupe fondamental de ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ est égal à ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$. On obtient un générateur de ce groupe en considérant la projection d'un chemin de Sⁿ reliant deux points antipodaux[12]. Les groupes d'homologie ${\displaystyle H_{k}(\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n})}$ sont égaux à ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ pour les entiers k impairs vérifiant${\displaystyle 0<k<n}$. Les autres groupes sont nuls, excepté ${\displaystyle H_{0}(\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n})=\mathbb {Z} }$ et, lorsque n est impair, ${\displaystyle H_{n}(\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n})=\mathbb {Z} }$[13].

L'espace projectif complexe P_n(ℂ) peut lui aussi être vu comme une variété différentielle, quotient de la sphère unité ${\displaystyle S^{2n+1}\subset \mathbb {C} ^{n+1}}$, cette fois-ci en identifiant les vecteurs multiples les uns des autres par un scalaire de module 1[14]. C'est une variété kählérienne pour la métrique de Fubini-Study, de courbure sectionnelle variant entre 1 et 4[15]. Il y a aussi une structure de CW-complexe avec une cellule en chaque dimension paire inférieure ou égale à 2n[14].

Toute variété kählérienne définie sur un corps algébriquement clos, compacte, connexe, à courbure (bi)sectionnelle positive, est isomorphe à un espace projectif complexe[16].

L’utilisation d’espaces projectifs rend rigoureuses et généralise à toute dimension la notion de droite à l'infini dans le plan projectif, qui est conçue de façon informelle comme l'ensemble des points à l'infini, points où les droites parallèles « se rencontrent ».

Il n'y a pas de façon naturelle dans l'espace projectif P(E) d'éléments à l'infini, cet espace étant homogène. Mais si P(E) est de dimension n, on peut fixer un sous-espace projectif de dimension n-1 et décider d'en faire le sous-espace à l'infini. Son complémentaire peut alors être identifié à l'espace affine de dimension n[17]. Il convient de noter que les transformations projectives de P(E) ne respectent pas cette partition en général. L’utilisation d’une base adaptée de E permet l’introduction de coordonnées homogènes pour l’exécution des calculs concrets. Les points à l'infini ont pour coordonnées ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n},0)}$ avec des scalaires ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ non tous nuls.

En sens inverse, on obtient un espace projectif en ajoutant une coordonnée supplémentaire à celle d'un espace affine ordinaire ; exemple : trois pour un espace à deux dimensions ; quatre pour un espace à trois dimensions ; etc. Ainsi le point de coordonnées (x,y,z) en 3D aura en représentation projective les coordonnées (x,y,z,1). Les points à l'infini ont pour coordonnées (x,y,z,0) avec x,y,z non tous nuls ; par exemple celui de l'axe des x a pour coordonnées (1,0,0,0). Cette disposition permet d'éviter des traitements particuliers pour les points à l'infini (qui sont ceux dont la dernière coordonnée est 0)[18].

Les systèmes de traitement graphique GL et OpenGL, de Silicon Graphics, utilisent des espaces projectifs pour représenter les informations spatiales en ordinateur.