Homologie (mathématiques)

De manière informelle, l'homologie d'un espace topologique X est un ensemble d'invariants topologiques de X représentés par ses groupes d'homologie

${\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }$

où le ${\displaystyle k}$-ième groupe d'homologie ${\displaystyle H_{k}(X)}$ décrit les trous de dimension k dans X. Un trou à 0 dimension est simplement un espace entre deux composants, par conséquent ${\displaystyle H_{0}(X)}$ décrit les composants de X reliés au chemin[14].

Le cercle ou 1-sphère ${\displaystyle S^{1}}$

Une sphère unidimensionnelle ${\displaystyle S^{1}}$ est un cercle. Il possède un seul composant connecté et un trou unidimensionnel, mais aucun trou de dimension supérieure. Les groupes d'homologie correspondants sont donnés comme

${\displaystyle H_{k}(S^{1})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,k=1\\\{0\}&{\text{sinon}}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ est le groupe d'entiers et ${\displaystyle \{0\}}$ est le groupe trivial. Le groupe ${\displaystyle H_{1}(S^{1})=\mathbb {Z} }$ représente un groupe abelien de type fini, avec un seul générateur représentant le trou unidimensionnel contenu dans un cercle[15].

La 2-sphère ${\displaystyle S^{2}}$ est la coquille, pas l'intérieur, d'une balle

Une sphère à deux dimensions ${\displaystyle S^{2}}$ a un seul composant connecté, pas de trous unidimensionnels, un trou bidimensionnel et pas de trous de dimensions supérieures. Les groupes d'homologie correspondants sont[15]

${\displaystyle H_{k}(S^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,k=2\\\{0\}&{\text{sinon}}\end{cases}}}$

En général, pour une sphère à n dimensions Sⁿ, les groupes d’homologie sont

${\displaystyle H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,k=n\\\{0\}&{\text{sinon}}\end{cases}}}$

Le disque solide ou la 2-balle ${\displaystyle B^{2}}$

Une boule à deux dimensions B² est un disque solide. Il a une seule composante liée au trajet, mais contrairement au cercle, il n’a pas de trous unidimensionnels ou de trous de dimensions supérieures. Les groupes d'homologie correspondants sont tous triviaux à l'exception de ${\displaystyle H_{0}(B^{2})=\mathbb {Z} }$ . En général, pour une balle à n dimensions Bⁿ[15],

${\displaystyle H_{k}(B^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\{0\}&{\text{sinon}}\end{cases}}}$

Le tore ${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$

Le tore est défini comme un produit cartésien de deux cercles ${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$. Le tore a une composante liée à un chemin unique, deux trous unidimensionnels indépendants (indiqués par des cercles en rouge et bleu) et un trou bidimensionnel comme intérieur du tore. Les groupes d'homologie correspondants sont[16]

${\displaystyle H_{k}(T)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,k=2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&{\text{sinon}}\end{cases}}}$

Les deux trous 1D indépendants forment des générateurs indépendants dans un groupe abélien de génération finie, exprimé par le groupe de produits cartésien. ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ .

La construction commence par un objet tel qu'un espace topologique X, sur lequel une première définit une chaîne complexe de C(X) codant des informations sur X. Un complexe de chaîne est une séquence de groupes abéliens ou de modules C₀, C₁, C₂, ... reliés par des homomorphismes ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$ qui sont appelés opérateurs limite[16]. C'est,

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

où 0 désigne le groupe trivial et ${\displaystyle C_{i}\equiv 0}$ pour i < 0. Il est également nécessaire que la composition de deux opérateurs limite consécutifs soit triviale. C'est, pour tout n,

${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0_{n+1,n-1},}$

c'est-à-dire que l'application constante envoie chaque élément de C_n+1 à l'identité du groupe dans C_n−1. L'affirmation que la limite d'une limite est triviale est équivalente à ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$, où ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ désigne l'image de l'opérateur limite et ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ son noyau. Les éléments de ${\displaystyle B_{n}(X)=\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ sont appelés limites et éléments de ${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$ s'appellent des cycles.

Puisque chaque groupe de chaîne C_n est abélien, tous ses sous-groupes sont normaux. Puis parce que ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ est un sous-groupe de C_n, ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ est abélien, et ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\leq \ker(\partial _{n})}$, ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ est donc un sous-groupe normal de ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ . Ensuite, on peut créer le groupe quotient

${\displaystyle H_{n}(X):=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})=Z_{n}(X)/B_{n}(X),}$

appelé le n-ième groupe d'homologie de X. Les éléments de H_n(X) sont appelés classes d'homologie. Chaque classe d'homologie est une classe d'équivalence sur plusieurs cycles et deux cycles de la même classe d'homologie sont dits homologues[17].

Un complexe chaîne est exacte si l'image de la (n + 1)-ième application est toujours égale au noyau de la n-ième application. Les groupes d'homologie de X mesurent donc "à quel point" le complexe de chaîne associé à X est inexact[18].

Les groupes d'homologie réduits d'un complexe de chaîne C(X) sont définis comme des homologies du complexe de chaîne augmentée[19]

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0}$

où l'opérateur limite ${\displaystyle \epsilon }$ est

${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$

pour une combinaison ∑ n_iσ_i de points σ_i, qui sont les générateurs fixes de C₀. Les groupes d'homologie réduits ${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)}$ coïncident avec ${\displaystyle H_{i}(X)}$ pour i ≠ 0. L'extra ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dans le complexe de la chaîne représente l'application unique ${\displaystyle [\emptyset ]\longrightarrow X}$ du simplexe vide à X.

Calcul du cycle ${\displaystyle Z_{n}(X)}$ et limite ${\displaystyle B_{n}(X)}$ groupes est généralement assez difficile car ils ont un très grand nombre de générateurs. D'autre part, il existe des outils qui facilitent la tâche.

Les groupes d'homologie simpliciale H_n(X) d'un complexe simplicial X sont définis à l'aide du complexe de chaîne simplicial C(X), avec C_n(X) le groupe abélien libre généré par les n-simplexes de X. Les groupes d'homologie singulière H_n(X) sont définis pour tout espace topologique X et s'accordent avec les groupes d'homologie simpliciale pour un complexe simplicial.

Les groupes de cohomologie ressemblent formellement aux groupes d'homologie: on commence par un complexe différentiel, identique à un complexe de chaîne, mais dont les flèches, maintenant désignées par dⁿ, vont dans le sens d'une augmentation de n plutôt que d'une diminution de n; alors les groupes ${\displaystyle \ker(d^{n})=Z^{n}(X)}$ de cocycles et ${\displaystyle \mathrm {im} (d^{n-1})=B^{n}(X)}$ des colimites découlent de la même description. Le n-ième groupe de cohomologie de X est alors le groupe quotient

${\displaystyle H^{n}(X)=Z^{n}(X)/B^{n}(X),}$

par analogie avec le n-ième groupe d'homologie.

Les différents types de théorie de l'homologie découlent de l'application des foncteurs de différentes catégories d'objets mathématiques vers la catégorie des complexes en chaîne. Dans chaque cas, la composition du foncteur d’objets en complexes de chaînes et le foncteur de complexes de chaînes en groupes d’homologie définissent le foncteur d’homologie général de la théorie[20].

L'exemple motivant vient de la topologie algébrique : l'homologie simpliciale d'un complexe simplicial X. Ici, le groupe de chaînes C_n est le groupe ou module abélien libre dont les générateurs sont les simplexes de X orientés en n dimensions. L'orientation est capturée en ordonnant les sommets du complexe et en exprimant un simplexe orienté. ${\displaystyle \sigma }$ comme un n-tuple ${\displaystyle (\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$ de ses sommets listés par ordre croissant (ie ${\displaystyle \sigma [0]<\sigma [1]<\cdots <\sigma [n]}$ dans l'ordre du sommet du complexe, où ${\displaystyle \sigma [i]}$ est le ${\displaystyle i}$ sommet apparaissant dans le tuple). L'application ${\displaystyle \partial _{n}}$ de C_n à C_n-1 est appelée l'application des limites et envoie le simplexe

${\displaystyle \sigma =(\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$

à la somme formelle

${\displaystyle \partial _{n}(\sigma )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(\sigma [0],\dots ,\sigma [i-1],\sigma [i+1],\dots ,\sigma [n]\right),}$

qui est considéré comme 0 si n = 0. Ce comportement sur les générateurs induit un homomorphisme sur tout C_n comme suit. Étant donné un élément ${\displaystyle c\in C_{n}}$, écrivez-le comme la somme des générateurs ${\displaystyle c=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\sigma _{i}}$, où X _n est l’ensemble des n- complexes de X et les m _i sont des coefficients de l’anneau C _n est défini sur (généralement des entiers, sauf indication contraire). Puis définir

${\displaystyle \partial _{n}(c)=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\partial _{n}(\sigma _{i}).}$

La dimension de la n-ième homologie de X s'avère être le nombre de "trous" dans X à la dimension n. Il peut être calculé en plaçant les représentations matricielles de ces applications de limites sous la forme normale de Smith.

Des complexes de chaînes forment une catégorie: un morphisme de la chaîne complexe (D_n: A_n → A _n-1) à la chaîne complexe (e_n: B_n → B _n-1) est une séquence d'homomorphismes f_n: A_n → B_n tels que ${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n}\circ f_{n}}$ pour tout n. La n-ième homologie H_n peut être vue comme un foncteur covariant de la catégorie des complexes de chaînes à la catégorie des groupes (ou modules) abéliens.

Si le complexe de la chaîne dépend de l'objet X de manière covariante (signifiant que tout morphisme X → Y induit un morphisme du complexe de la chaîne de X au complexe de la chaîne de Y ), alors H_n sont des foncteurs covariants de la catégorie X appartient à la catégorie des groupes (ou modules) abéliens.

La seule différence entre l'homologie et la cohomologie est que, en cohomologie, les complexes de chaîne dépendent de manière contravariante de X et que, par conséquent, les groupes d'homologie (appelés groupes de cohomologie dans ce contexte et notés Hⁿ) forment des foncteurs contravariants de la catégorie X appartient à la catégorie des groupes ou modules abéliens.

Si (d_n: A_n → A_n-1) est une chaîne complexe telle que tous sauf un nombre fini de A_n sont nuls, et les autres sont des groupes abélien finiment engendrés (ou des espaces vectoriels de dimension finie), on peut alors définir la caractéristique d'Euler

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}$

(en utilisant le rang dans le cas des groupes abéliens et la dimension Hamel dans le cas des espaces vectoriels). Il s'avère que la caractéristique d'Euler peut également être calculée sur le niveau d'homologie :

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$

et, en particulier dans la topologie algébrique, cela fournit deux façons de calculer l'important invariant χ pour l'objet X qui a donné lieu au complexe de la chaîne.

Chaque suite exacte

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$

de complexes en chaîne donne lieu à une longue suite exacte de groupes d'homologie

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(B)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(B)\to H_{n-1}(C)\to H_{n-2}(A)\to \cdots }$

Toutes les applications de cette longue séquence exacte sont induites par les applications entre les complexes en chaîne, à l'exception des applications H_n(C) → H_{n -1}(A). Ces dernières sont appelées homomorphismes de connexion et sont fournies par le lemme de zig-zag. Ce lemme peut être appliqué à l'homologie de nombreuses façons qui aident au calcul de groupes d'homologie, telles que les théories de l'homologie relative et les séquences de Mayer-Vietoris.

Divers logiciels ont été développés pour calculer des groupes d'homologie de complexes de cellules finies. Linbox est une bibliothèque C++ permettant d'effectuer des opérations matricielles rapides, y compris la forme normale de Smith ; il s'interface avec Gap et Maple. Chomp, CAPD::Redhom et Perseus sont également écrits en C++. Tous les trois implémentent des algorithmes de prétraitement basés sur l'équivalence simple-homotopie et la théorie de Morse discrète afin de réaliser des réductions préservant l'homologie des complexes de cellules en entrée avant de recourir à l'algèbre matricielle. Kenzo est écrit en Lisp et, en plus de l'homologie, il peut également être utilisé pour générer des présentations de groupes d'homotopie de complexes simpliciaux finis. Gmsh inclut un résolveur d'homologie pour les maillages d'éléments finis, qui peut générer des bases de cohomologie directement utilisables par un logiciel d'éléments finis[25].

• Nombre de Betti
• Espace cycle
• Axiomes d'Eilenberg–Steenrod
• Théorie de l'homologie extraordinaire
• Algèbre homologique
• Conjectures homologiques en algèbre commutative
• Dimension homologique
• Théorème de Künneth
• Liste des théories de la cohomologie - contient également une liste des théories d'homologie
• Cohomologie de De Rham

• Cartan, Henri Paul et Eilenberg, Samuel (1956) Homological Algebra Princeton University Press, Princeton, NJ, OCLC 529171
• Eilenberg, Samuel et Moore, J. C. (1965) Foundations of relative homological algebra (Memoirs of the American Mathematical Society number 55) American Mathematical Society, Providence, R.I., OCLC 1361982
• Hatcher, A., (2002) Algebraic Topology Cambridge University Press, (ISBN 0-521-79540-0). Detailed discussion of homology theories for simplicial complexes and manifolds, singular homology, etc.
• Homology group à Encyclopaedia of Mathematics
• Hilton, Peter (1988), "A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century", Mathematics Magazine, Mathematical Association of America, 60 (5): 282–291, JSTOR 2689545
• Teicher, M., ed. (1999), The Heritage of Emmy Noether, Israel Mathematical Conference Proceedings, Bar-Ilan University/American Mathematical Society/Oxford University Press, (ISBN 978-0-19-851045-1), OCLC 223099225
• "Homology (Topological space)". PlanetMath.
• Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University (2008)
• Spanier, Edwin H. (1966). Algebraic Topology, Springer, p. 155,. (ISBN 0-387-90646-0).
• Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader (2010), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, (ISBN 9781400830398).
• John Stillwell (1993), Classical Topology and Combinatorial Group Theory, Springer, doi:10.1007/978-1-4612-4372-4_6, (ISBN 978-0-387-97970-0).
• Charles A. Weibel (1999), History of Homological Algebra, chapter 28 in the book History of Topology by I.M. James, Elsevier, (ISBN 9780080534077).