Système dynamique

Il faut faire attention au sens très particulier que prend la notion d’état pour la théorie des systèmes dynamiques. Un paradoxe de Zénon permet de présenter la difficulté. Zénon demandait : « Soit une flèche en vol. À un instant, est-ce qu’elle est au repos ou en mouvement ? » Si on répondait qu’elle est en mouvement, il disait « Mais être en mouvement, c’est changer de position. À un instant, la flèche a une position, elle n’en change pas. Elle n’est donc pas en mouvement. » Si on répondait qu’elle est au repos, il disait « Mais si elle est au repos à cet instant, elle est aussi au repos à tous les autres instants, elle est donc toujours au repos. Elle n’est jamais en mouvement. Mais comment alors peut-elle passer d’une position à une autre ? » Il en concluait qu’il n’est pas possible de dire des vérités sur ce qui est en mouvement. Tout ce qui est en mouvement serait par nature mensonger et il n’y aurait pas de vérités à propos de la matière mais seulement à propos des grandes idées, pourvu qu’elles soient immuables. Le sens commun est exactement inverse. On croit plus couramment à la vérité de ce qu’on voit qu’aux vérités métaphysiques. La théorie des systèmes dynamiques rejoint le sens commun sur ce point.

La notion d’état dynamique fournit une solution au paradoxe de Zénon : à un instant, la flèche est en mouvement, elle a une position mais elle est en train de changer de position, elle a une vitesse instantanée. Les nombres qui mesurent sa position et sa vitesse sont les valeurs de ses variables d’état. Les variables d’état sont toutes les grandeurs physiques qui déterminent l’état instantané du système et qui ne sont pas constantes a priori. On les appelle aussi les variables dynamiques. Si on prend une photo au flash, on ne voit pas que la flèche est en mouvement, mais on peut le détecter par d’autres moyens, par l’effet Doppler par exemple, sans avoir à mesurer un changement de position. L’état dynamique d’un système est un état instantané, mais c’est un état de mouvement. Il est déterminé par les valeurs de toutes les variables d’état à cet instant.

L'espace des phases est une structure correspondant à l'ensemble de tous les états possibles du système considéré. Ce peut être un espace vectoriel, une variété différentielle ou un fibré vectoriel, un espace mesurable…

Pour un système possédant n degrés de liberté, par exemple, l'espace des phases ${\displaystyle \Gamma }$ du système possède n dimensions, de telle sorte que l'état complet ${\displaystyle x(t)\in \Gamma }$ du système à l'instant t est en général un vecteur à n composantes.

Un système dynamique discret est généralement défini par une application bijective ${\displaystyle \phi$ :\Gamma \to \Gamma } de l'espace des phases sur lui-même (on étudie aussi la dynamique d'applications non nécessairement bijectives, notamment en dynamique holomorphe). Elle opère de la façon suivante : étant donné une condition initiale ${\displaystyle x_{0}}$ de l'état du système, le premier état suivant est :

${\displaystyle x_{1}\ =\ \phi (x_{0})}$

Le second état, qui suit immédiatement le premier, est :

${\displaystyle x_{2}\ =\ \phi (x_{1})\ =\ \phi (\phi (x_{0}))\ =\ (\phi \circ \phi )(x_{0})\ =\ \phi ^{2}(x_{0})}$

et ainsi de suite, de telle sorte que le n-ième état est donné par :

${\displaystyle x_{n}\ =\ \phi (x_{n-1})\ =\ \dots \ =\ \phi ^{n}(x_{0})}$

Pour remonter dans le passé, il suffit d’inverser la fonction ${\displaystyle \phi }$, ce qui est toujours possible pour une bijection.

On distingue plusieurs grands types de dynamiques en fonction de la nature mathématique de l'espace des phases :

• lorsque ${\displaystyle \Gamma }$ est un espace topologique et l'application ${\displaystyle \phi$ :\Gamma \to \Gamma } un homéomorphisme, on parle de dynamique topologique ;
• lorsque ${\displaystyle \Gamma }$ est une variété différentielle et l'application ${\displaystyle \phi$ :\Gamma \to \Gamma } un difféomorphisme, on parle de dynamique différentielle ;
• lorsque ${\displaystyle \Gamma }$ est une variété analytique complexe et l'application ${\displaystyle \phi$ :\Gamma \to \Gamma } est holomorphe, on parle de dynamique holomorphe ou dynamique complexe ;
• lorsque ${\displaystyle \Gamma }$ est un espace mesuré et ${\displaystyle \phi$ :\Gamma \to \Gamma } une application qui préserve la mesure, on entre dans le domaine de la théorie ergodique, et on parle de système dynamique mesuré.

Bifurcations de la fonction logistique.

La fonction logistique est une application du segment [0, 1] dans lui-même qui sert de récurrence à la suite :

${\displaystyle x_{n+1}\ =\ r\,x_{n}\ (1-x_{n})}$

où n = 0, 1, … dénote le temps discret, ${\displaystyle x}$ l'unique variable dynamique, et r un paramètre réel compris entre 0 et 4[1].

La dynamique de cette application présente un comportement très différent selon la valeur du paramètre r :

• Pour ${\displaystyle 0\leq r<3}$, le système possède un point fixe attractif, qui devient instable lorsque ${\displaystyle r=3}$.
• Pour ${\displaystyle 3\leq r<3,57\ldots }$, l'application possède un attracteur qui est une orbite périodique, de période ${\displaystyle 2^{n}}$ où n est un entier qui tend vers l'infini lorsque r tend vers 3,57…
• Lorsque ${\displaystyle r=3,57\ldots }$, l'application possède un attracteur de Feigenbaum fractal (mais non étrange) découvert par Robert May en 1976[2].
• Le cas ${\displaystyle r=4}$ avait été étudié dès 1947 par Stanislas Ulam et John von Neumann[3]. On peut dans ce cas précis établir l'expression exacte de la mesure invariante ergodique[4].

On obtient donc une succession de bifurcations de la régularité vers le chaos lorsque le paramètre augmente, résumée sur la figure ci-jointe.

Le nom d'application « chat » provient d'un jeu de mots anglais intraduisible en français : en effet, « chat » se dit « cat » en anglais, et Vladimir Arnold utilisait ce mot comme acronyme de : « Continuous Automorphisms of the Torus, littéralement : « automorphismes continus du tore ».

L'application « chat »[5] est une application du carré [0, 1] × [0, 1] dans lui-même définie par :

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{n+1}&=&x_{n}\,+\,y_{n}\quad (\mathrm {mod} \ 1)\\y_{n+1}&=&x_{n}\,+\,2\,y_{n}\quad (\mathrm {mod} \ 1)\end{matrix}}}$

où (mod 1) signifie : à un entier près. Cette condition entraine que le carré [0, 1] × [0, 1] voit ses bords recollés deux à deux pour former le « tore » du titre. Il s'agit d'un système dynamique conservatif, qui préserve la mesure de Lebesgue dx dy.

Cette application a des propriétés intéressantes qui permettent d'illustrer des concepts fondamentaux de la théorie des systèmes dynamiques[6].

L'application de Michel Hénon[7] - [8] est une bijection du carré [0, 1] × [0, 1] dans lui-même définie par :

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{n+1}&=&y_{n}\,+\,1\,-\,a\,x_{n}^{2}\\y_{n+1}&=&b\,x_{n}\end{matrix}}}$

où a et b sont deux paramètres, dont des valeurs typiques sont ${\displaystyle a=1,4}$ et ${\displaystyle b=0,3}$. Avec ces valeurs, la dynamique présente un attracteur étrange de nature fractale, de type Cantor[9].

Hénon a obtenu ses équations en cherchant une version simplifiée du système dynamique de Lorenz à temps continu introduit en 1963 (voir infra). Le système dynamique de Hénon n'est pas conservatif, car le jacobien de la transformation est constant[10] et vaut ${\displaystyle -b}$, qui est différent de l'unité dans les cas intéressants.

L'application de Hénon est aussi étudiée et généralisée en tant que système dynamique complexe (dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$).

• L'application de décalage sur les suites binaires définie comme suit. L'espace dynamique est l'ensemble des suites de ${\displaystyle 0}$ et de ${\displaystyle 1}$ et l'application à itérer est l'application ${\displaystyle \sigma }$, dite de décalage (traduction du terme anglophone shift, parfois utilisé en français) qui décale la suite d'un cran vers la gauche : si ${\displaystyle x=(x_{0},x_{1},x_{2},...)}$ est une suite de ${\displaystyle 0}$ et de ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \sigma (x)}$ est la suite ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},...)}$. Ce modèle de système dynamique se généralise et son importance se trouve dans le fait qu'il résulte généralement du codage d'un système dynamique par une partition de Markov (en).
• La dynamique holomorphe sur le plan complexe ${\displaystyle \mathbb {C} }$. C'est dans ce cadre que l'on définit l'ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia.
• La percolation.

On se pose la question suivante, appelée problème de Cauchy : étant donné une condition initiale ${\displaystyle x_{0}}$ représentant l'état complet du système physique dans son espace des phases à un instant initial ${\displaystyle t_{0}}$, trouver l'état complet du système ${\displaystyle x(t)}$ dans son espace des phases pour tout instant ultérieur ${\displaystyle t>t_{0}}$. La solution à ce problème fondamental réside dans le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui assure (sous une hypothèse assez large) l'existence locale et l'unicité de la solution d'une équation différentielle.

L’hypothèse que l’avenir est déterminé par le présent est très audacieuse. Son succès n’est pas a priori évident. Pourtant, toutes les grandes théories fondamentales de la physique l’ont adoptée, à la suite de Newton.

Nous conviendrons de dire qu'un système physique conservatif est déterministe si et seulement si la dynamique du système associe à chaque condition initiale ${\displaystyle x_{0}}$ un et un seul état final ${\displaystyle x(t)}$. Il faut pour cela qu'il existe une application bijective ${\displaystyle \phi _{t}:\Gamma \to \Gamma }$ de l'espace des phases sur lui-même telle que :

${\displaystyle x(t)\ =\ \phi _{t}(x_{0})}$

Lorsque le temps ${\displaystyle t}$ varie, cette bijection engendre un flot sur ${\displaystyle \Gamma }$, c’est-à-dire un groupe continu à un paramètre ${\displaystyle \phi _{t}}$ tel que :

${\displaystyle \phi _{0}\ =\ \mathrm {Id} }$

${\displaystyle \forall (t,s)\in \mathbb {R} ^{2}\,\quad \phi _{t}\ \circ \phi _{s}\ =\ \phi _{t+s}}$.

Cette description correspond par exemple au flot hamiltonien de la mécanique classique, ainsi qu'au flot géodésique.

Lorsque le système physique considéré est non conservatif, l'application ${\displaystyle \phi _{t}}$ n'est pas bijective[12], et il existe en général un (ou plusieurs) attracteur dans l'espace des phases du système, c’est-à-dire un sous-ensemble de l'espace des phases invariant sous ${\displaystyle \phi _{t}}$ vers lequel converge le point représentatif ${\displaystyle x(t)}$ du système lorsque le temps ${\displaystyle t}$ tend vers l'infini, et ce pour presque toute condition initiale ${\displaystyle x_{0}}$.

Oscillateur de Van der Pol.

L'oscillateur de van der Pol libre (c.-à-d. sans excitation extérieure) est un système à un degré de liberté, décrit par la coordonnée x(t), qui possède deux paramètres :

• une pulsation ${\displaystyle \omega _{0}}$ ;
• un coefficient de non-linéarité ${\displaystyle \epsilon }$.

Son équation différentielle s'écrit[13] :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}\ -\ \epsilon \,\omega _{0}\ \left(1-x^{2}(t)\right)\;{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}\ +\ \omega _{0}^{2}\ x(t)\ =\ 0}$

Ce système dissipatif possède une dynamique régulière lorsqu'il est libre, caractérisée par un attracteur en forme de cycle limite représenté sur la figure ci-contre (où on a posé ${\displaystyle \omega _{0}=1}$) :

Attracteur étrange de Lorenz.

En 1963, Edward Lorenz a proposé un système différentiel possédant trois degrés de liberté[14], notés ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle y(t)}$ et ${\displaystyle z(t)}$, qui s'écrit :

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\sigma \left[y(t)-x(t)\right]\\\\{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=\rho \,x(t)-y(t)-x(t)\,z(t)\\\\{\dfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=x(t)\,y(t)-b\,z(t)\end{cases}}}$

Dans ces équations, ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \rho }$ et ${\displaystyle b}$ sont trois paramètres réels positifs. Pour les valeurs suivantes : ${\displaystyle \sigma =10}$, ${\displaystyle \rho =28}$ et ${\displaystyle b=8/3}$, ce système dynamique différentiel présente un attracteur étrange, représenté sur la figure ci-contre.

Théorie des systèmes dynamiques (article plus général)

• (en) sur cut-the-knot :
  • Emergence of Chaos
  • Iterations in the Mandelbrot Set
  • Logistic Model
• (en) Présentation en ligne du livre Introduction to Social Macrodynamics d'Andreï Korotaïev, Artemy Malkov et Daria Khaltourina
• Systèmes dynamiques et équations différentielles sur interstices, incluant une applet java de simulation

• Aurélien Alvarez, Destination systèmes dynamiques avec Poincaré, Le Pommier, 2013
• John H. Hubbard et Beverly H. West, Équations différentielles et systèmes dynamiques, Cassini, 1999 (ISBN 284225015X)
• Grégoire Nicolis et Ilya Prigogine, À la rencontre du complexe, Collection Philosophie d'aujourd'hui, PUF, 1992 (ISBN 2-13-043606-4)
• (en) Boris Hasselblatt (de) et Anatole Katok (de), A first course in dynamics : with a panorama of recent developments, Cambridge, Cambridge University Press, 2003, 424 p. (ISBN 0-521-58750-6)
• (en) Diederich Hinrichsen (en) et Anthony J. Pritchard, Mathematical Systems Theory. Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness, New York, Springer, 2005 (ISBN 978-3-540-44125-0)
• (en) Boris Hasselblatt et Anatole Katok, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems : With a supplement by Anatole Katok and Leonardo Mendoza, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and Its Applications » (n^o 54), 1997 (ISBN 0-521-57557-5)
• David Ruelle, Hasard et chaos, Odile Jacob, Paris, 1991.
• James Gleick (trad. Christian Jeanmougin), La Théorie du Chaos [« Chaos: Making a New Science »], Flammarion, coll. « Champs », Paris, 1988 (réimpr. 1999), 431 p. (ISBN 2-08081-219-X)

• (en) Stephen Smale, The Mathematics of Time - Essays on Dynamical Systems, Economic Processes & Related Topics, Springer-Verlag, 1980 (ISBN 978-0-387-90519-8)
• (en) Boris Hasselblatt et Anatole Katok (eds.), Handbook of Dynamical Systems, Elsevier. Vol. 1A, 2002 (ISBN 978-0-444-82669-5) ; Vol. 1B, 2005 (ISBN 978-0-444-52055-5)
• (en) Bernold Fiedler (ed.), Handbook of Dynamical Systems. Vol. 2: Applications, Elsevier, 2002 (ISBN 978-0-444-50168-4) ; Vol. 3: Geometric Methods of Differentiable Dynamics, Elsevier, 2010 (ISBN 978-0-444-53141-4)
• (en) Leonid Bunimovich, Roland Lwowitsch Dobruschin, Iakov Sinaï, Anatoly Vershik et al., Dynamical Systems, Ergodic Theory and Applications, Series: Encyclopaedia of Mathematical Sciences 100, Volume package: Mathematical Physics, Springer-Verlag, 2^e édition, 2000 (ISBN 978-3-540-66316-4)
• (en) Vladimir Damgov, Nonlinear and Parametric Phenomena. Applications to Radiometric and Mechanical Systems, World Scientific, Series on Nonlinear Sciences, 2004

• Paul Manneville, Systèmes dynamiques et chaos, 1998, 233 p. Cours donné par l'auteur (LadHyX, École Polytechnique) aux DEA de Physique des Liquides et de Mécanique [lire en ligne]
• (en) David Ruelle, Ergodic theory of differentiable dynamical systems, Publ. Math. IHES 50 (1979), 27-58 [(en) texte intégral][PDF].