Ensemble de Julia

Étant donnés deux nombres complexes, c et z₀, définissons la suite (z_n) par la relation de récurrence : ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c.}$

Pour une valeur donnée de c, l'ensemble de Julia correspondant est la frontière de l'ensemble des valeurs initiales z₀ pour lesquelles la suite est bornée (l'ensemble de ces valeurs étant, lui, désigné comme l'ensemble de Julia rempli). En déplaçant le point c sur le plan complexe, nous pouvons donc imaginer un film sur lequel nous verrions défiler les ensembles de Julia correspondant aux points c parcourus.

La définition des ensembles de Julia dans ce cas particulier peut être associée à celle de l'ensemble de Mandelbrot qui est l'ensemble de toutes les valeurs de c pour lesquelles la suite (z_n) est bornée, en prenant z₀ = 0.

L'ensemble de Mandelbrot est un ensemble de paramètres c ayant une propriété particulière pour les ensembles de Julia : en effet, Julia et Fatou ont démontré que pour les points c appartenant à l'ensemble de Mandelbrot, l'ensemble de Julia correspondant est d'« une seule pièce » c'est-à-dire topologiquement connexe, et qu'inversement lorsque le point c traverse la frontière de l'ensemble de Mandelbrot, l'ensemble de Julia se brise en une poussière de Cantor formée de points non connectés mais dont tout voisinage contient un autre point de l'ensemble. Il y a équivalence entre cette propriété et la définition précédente d'un ensemble de Mandelbrot.

• Ensemble de Julia où c varie sur le cercle unité décalé de 0,25 + 0,5 i.
• Ensemble de Julia où c varie sur une courbe paramétrique.
• Ensemble de Julia où c varie sur un segment.
• Ensemble de Julia où c varie sur le cercle unité.

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  Ensemble de Julia de z² + c avec c = 0,3 + 0,5 i.
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  Ensemble de Julia pour c = 0,285 + 0,01 i (courbes de niveau du nombre d'itérations).
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  Le même ensemble avec une coloration différente (nombre d'itérations et pavage selon le secteur d'arrivée).
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  Détail de l'ensemble de Julia pour c = –1,417022285618 + 0,0099534 i.
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  Détail de l'ensemble de Julia pour c = –0,038088 + 0.9754633 i.
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  Ensemble de Julia pour c = 0,285 + 0,013 i.
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  Tracé d'un ensemble de Julia par itération inverse.
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  Ensembles de Julia de z² + c pour différentes valeurs de c.
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  Ensemble de Julia rempli pour c = 0,285 + 0,01 i.
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  Ensemble de Julia rempli pour c = -1,476.
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  Ensemble de Julia rempli pour c = −0,4 + 0,6 i.
• 
  Ensemble de Julia rempli pour c = −0,8+0,156 i.