Ensemble de Mandelbrot

La théorie générale, développée par Pierre Fatou et Gaston Julia au début du XX^e siècle, associe à toute fonction (suffisamment régulière) f(z, c) (à arguments et valeurs complexes) les ensembles de Julia J_c, définis (pour un c fixé) comme la frontière de l'ensemble des a complexes tels que la suite définie par z₀ = a et z_n+1 = f(z_n, c) reste bornée (en module) ; pour la fonction particulière f(z, c) = z² + c, on définit l'ensemble de Mandelbrot M comme l'ensemble des c pour lequel J_c est connexe. Fatou et Julia ont démontré[11] que cette définition est équivalente à celle donnée dans l'introduction, c'est-à-dire que c appartient à M si et seulement si la suite (z_n) définie par z₀ = 0 et z_n+1 = z_n² + c reste bornée (en module) ; restant dans les réels, il s'agit donc des points de coordonnées (a,b) tels que les deux suites (x_n) et (y_n) définies par la récurrence x₀ = y₀ = 0 et x_n+1 = x_n² – y_n² + a ; y_n+1 = 2x_ny_n + b restent bornées.

Si la suite des modules des z_n est strictement supérieure à 2 pour un certain indice alors, cette suite est croissante à partir de cet indice, et elle tend vers l'infini.

Pour que la suite (z_n) soit bornée, il suffit donc qu'elle ne tende pas vers l'infini, et il faut qu'elle reste bornée par 2 (en module). Ceci fournit deux définitions de l'ensemble de Mandelbrot équivalentes à celle donnée en introduction, et prouve de plus que cet ensemble est inclus dans le disque fermé de centre 0 et de rayon 2.

Géométrie élémentaire.

L'ensemble M de Mandelbrot est compact, symétrique par rapport à l'axe réel et contient le disque fermé de centre 0 et de rayon 1/4.

Son intersection avec l'axe réel est le segment [–2, 1/4].

Son aire est estimée autour de 1,50659177 ± 0,00000008[12].

Son centre de gravité est estimé à la position réelle –0,286 768 3 ± 0,000 000 1[12].

La principale structure remarquable est la cardioïde centrale, de centre ${\displaystyle A\left({\frac {1}{4}},0\right)}$ et d'équation polaire ${\displaystyle \rho (\theta )={\frac {1}{2}}\left(1-\cos \theta \right)}$. On peut aussi citer le disque de centre ${\displaystyle B(-1,0)}$ et de rayon ${\displaystyle 1/4}$.

Douady et Hubbard ont montré, en 1985[13], que l'ensemble est connexe. Ce résultat n'était pas évident à l'observation des premiers tracés de Mandelbrot, qui faisait apparaître des « îlots » semblant détachés du reste. Pour ce faire, ils ont montré que le complémentaire de l'ensemble de Mandelbrot est conformément isomorphe au complémentaire dans ℂ du disque unité.

On conjecture que l'ensemble de Mandelbrot est localement connexe[14] - [15] - [16].

Autosimilarité autour d'un point de Misiurewicz −0,1011 + 0,9563i.

Autosimilarité près du point de Feigenbaum -1,401155.

Des copies de l'ensemble dans l'ensemble de Mandelbrot.

L'ensemble de Mandelbrot est autosimilaire dans le voisinage des points de Misiurewicz. Ces points sont denses sur toute la frontière de l'ensemble. On conjecture qu'il est également autosimilaire, à la limite, autour des points de Feigenbaum (ex. : −1,401 155 ou −0,152 8 + 1,039 7 i)[17].

Des versions réduites de l'ensemble de Mandelbrot apparaissent sur toute sa frontière, jusqu'à des grossissements infinis, avec de légères différences[18].

L'ensemble de Mandelbrot n'est pas, en général, strictement autosimilaire.

L'ensemble de Mandelbrot M a un caractère universel pour de nombreuses fonctions holomorphes[18]. Des copies de M sont visibles sur les frontières de leurs bassins d'attraction, c'est-à-dire des ensembles des c pour lesquels les itérés f(f(…f(z)))) convergent vers un complexe donné. En voici quelques exemples, avec des fonctions transcendantes :

• ${\displaystyle z\mapsto \cos(z)+c}$ (fonction cosinus)
• ${\displaystyle z\mapsto {\rm {e}}^{-z^{2}}+c}$ (fonction de Gauss)

On retrouve également M lors de l'itération d'une famille de fonctions cubiques telles que ${\displaystyle z\mapsto z^{3}+(\lambda -1)z-\lambda }$, par la méthode de Newton. L'ensemble des points ${\displaystyle \lambda }$ ne convergeant pas vers une racine de ce polynôme prend la forme de M.

Là encore, l'autosimilarité n'est pas stricte.

• 
  L'ensemble des points ne convergeant pas, pour une fonction cubique, par la méthode de Newton.
• 
  Points de non-convergence pour les itérées de f(z,c)=cos(z)+1/c, région [-0.09:-0.07]x[0.345:0.36].

La dimension de Hausdorff de la frontière de l'ensemble de Mandelbrot vaut 2. Ce résultat a été démontré en 1990 par Mitsuhiro Shishikura[19]. On ne sait pas si cette frontière a une mesure de Lebesgue (surface) positive.

Correspondance entre l'ensemble de Mandelbrot et le diagramme de bifurcation de l'équation logistique.

Les paramètres de M, dans l'intervalle réel [–2, 1/4], peuvent être mis en correspondance bijective avec ceux de l'équation logistique : ${\displaystyle z\mapsto \lambda z(1-z),\quad \lambda \in [1,4],}$ la correspondance étant donnée par : ${\displaystyle c={\frac {\lambda }{2}}\left(1-{\frac {\lambda }{2}}\right).}$

L'ensemble de Mandelbrot M peut être défini comme l'ensemble des complexes c pour lesquels l'ensemble de Julia correspondant, J_c, est connexe. Mais, plus précisément, on a (à la limite) identité entre J_c et M au voisinage de c, lorsque c appartient à la frontière de M[20]. Ainsi, il y a une correspondance proche entre la géométrie de l'ensemble de Mandelbrot à un point donné et la structure de l'ensemble de Julia lui correspondant. Par exemple, un point est dans l'ensemble de Mandelbrot exactement là où l'ensemble de Julia correspondant est connexe.

Ce principe est exploité dans beaucoup de preuves et découvertes profondes sur l'ensemble de Mandelbrot. Par exemple, Mitsuhiro Shishikura a prouvé que la frontière de l'ensemble de Mandelbrot possède une dimension de Hausdorff de 2 et que l'ensemble de Julia correspondant à un point de cette frontière a aussi une dimension 2[21].

Jean-Christophe Yoccoz a prouvé que l'ensemble de Julia est un espace localement connexe pour certains paramètres, avant de l'établir également pour l'ensemble de Mandelbrot aux points correspondant à ces paramètres[22].

Bourgeons et périodicités.

L'ensemble de Mandelbrot fait apparaître nombre de structures en forme de bourgeons entourant une structure principale en forme de cardioïde.

• La cardioïde est l'ensemble des points c qui convergent vers un point fixe (période 1). Ce sont les points de la forme ${\displaystyle c={\frac {\mu }{2}}\left(1-{\frac {\mu }{2}}\right)}$ pour tout ${\displaystyle \mu }$ appartenant au disque unité.
• Le bourgeon principal, à gauche de la cardioïde, lui est attaché au point c = –3/4. Il s'agit d'un disque centré en c = –1 et de rayon 1/4. Il s'agit de l'ensemble des points paramètres qui, à la limite, convergent vers un cycle de période 2.
• Les autres bourgeons tangents à la cardioïde sont les points admettant d'autres périodicités. Pour tout nombre rationnel p/q, avec p et q premiers entre eux, il existe un bourgeon presque circulaire tangent à la cardioïde au point ${\displaystyle c_{p/q}={\frac {e^{2\pi ip/q}}{2}}\left(1-{\frac {e^{2\pi ip/q}}{2}}\right)}$. Chacun de ces bourgeons est appelé « bourgeon p/q ». Il s'agit de l'ensemble des points paramètres convergeant vers un cycle de période q.
• Enfin, chaque bourgeon porte lui-même des bourgeons, représentatifs d'une périodicité différente, selon le même schéma. Par exemple, le bourgeon à gauche du grand bourgeon de période 2 a une périodicité de période 4. Le bourgeon immédiatement à sa gauche est de période 8, puis 16, etc., suivant ainsi le motif de doublement de période du diagramme de bifurcation de l'équation logistique.

Antennes et périodicités.

Les bourgeons sont également surmontés de filaments en forme d'antenne. Le nombre d'antennes est directement lié à la périodicité du bourgeon. Ainsi, compter le nombre d'antennes permet de déterminer la périodicité du bourgeon.

Un moyen de limiter les calculs est de trouver au préalable les points appartenant à la cardioïde et au bourgeon principal, c'est-à-dire au disque de centre (–1, 0) et de rayon 1/4. Ces points coûtent particulièrement cher en calculs, puisqu'ils appartiennent à l'ensemble de Mandelbrot, et nécessitent donc d'aller jusqu'au maximum d'itérations. Avant de passer un point de coordonnées ${\displaystyle x+iy}$ dans l’algorithme itératif, il faut donc vérifier :

• si ${\displaystyle x<p-2p^{2}+{\frac {1}{4}}}$ avec ${\displaystyle p={\sqrt {\left(x-{\frac {1}{4}}\right)^{2}+y^{2}}}}$alors le point appartient à la cardioïde, donc à l'ensemble de Mandelbrot ;
• si ${\displaystyle (x+1)^{2}+y^{2}<{\frac {1}{16}}}$alors le point appartient au disque de centre (–1, 0) et de rayon 1/4, c'est-à-dire au bourgeon principal, et donc à l'ensemble de Mandelbrot.

Les autres bourgeons n'ont pas de test équivalent, puisqu'ils ne sont pas parfaitement circulaires. Il est néanmoins possible de vérifier si un point appartient à un cercle que l'on sait inscrit dans un de ces bourgeons, permettant à la plupart des points de ces derniers de ne pas lancer l'algorithme itératif.

Il est possible de reformuler l'équation principale, de manière à raisonner sur la différence d'évolution par rapport à un point voisin. Cette méthode permet de ramener ces différences ${\displaystyle \Delta _{n}}$ à une faible précision (vingtaine de chiffres significatifs), dans le domaine des unités de calcul en virgule flottante matérielles de l'ordinateur, qui sont beaucoup plus rapides que les bibliothèques d'arithmétique multiprécision qui ne sont pas autant accélérées matériellement. L'ensemble est ainsi calculé à partir d'un (ou plusieurs) points de référence, calculés de manière absolue.

Si on raisonne en absolu, les nombres mis en œuvre pour le calcul de l'ensemble peuvent atteindre des milliers de chiffres significatifs pour des grands niveaux de zoom, et s'accroissant davantage avec le zoom. Avec cet algorithme, la vitesse de calcul reste relativement constante selon le niveau de zoom, la vitesse de calcul dépendant plus de la complexité de la scène[23].

Cet algorithme est à la base d'un des programmes de calcul le plus rapide de l'ensemble de Mandelbrot en 2017 : Kalles Fraktaler[24].

Principe[23] :

${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}^{2}+X_{0}}$

${\displaystyle Y_{n+1}=Y_{n}^{2}+Y_{0}}$

${\displaystyle \Delta _{n}=Y_{n}-X_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{n+1}=Y_{n+1}-X_{n+1}&=(Y_{n}^{2}+Y_{0})-(X_{n}^{2}+X_{0})\\&=((X_{n}+\Delta _{n})^{2}+X_{0}+\Delta _{0})-(X_{n}^{2}+X_{0})\\&=(X_{n}^{2}+2X_{n}\Delta _{n}+\Delta _{n}^{2}+X_{0}+\Delta _{0})-(X_{n}^{2}+X_{0})\\&=2X_{n}\Delta _{n}+\Delta _{n}^{2}+\Delta _{0}\end{aligned}}}$

Tous les ${\displaystyle \Delta _{n}}$, calculés à partir des ${\displaystyle X_{n}}$ de référence mémorisés, ont une faible précision, permettant d'utiliser les unités de calcul en virgule flottante matérielles de l'ordinateur pour les opérations les plus nombreuses et coûteuses.

Le calcul peut encore être davantage optimisé en exprimant ${\displaystyle \Delta _{n}}$ en utilisant l'approximation[23] :

${\displaystyle \Delta _{n}=A_{n}\Delta _{0}+B_{n}\Delta _{0}^{2}+C_{n}\Delta _{0}^{3}+o(\Delta _{0}^{4})}$

avec ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n}}$ ne dépendant pas de ${\displaystyle \Delta _{n}}$, mais seulement de ${\displaystyle X_{n}}$ (série du point de référence à partir duquel on calcule les perturbations).

Donc, une fois calculés et mémorisés tous les ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n}}$ pour le point de référence (${\displaystyle \Delta _{0}=0}$), on peut rechercher directement pour tout point voisin (en faisant varier ${\displaystyle \Delta _{0}}$), par recherche dichotomique, le ${\displaystyle \Delta _{n}}$ qui provoque la divergence de la suite (puisqu'on n'a pas besoin du ${\displaystyle \Delta _{n-1}}$ pour calculer ${\displaystyle \Delta _{n}}$) et le calcul d'un point se fait avec une complexité en temps ${\displaystyle O(\log {N})}$ au lieu de ${\displaystyle O(N)}$, ${\displaystyle N}$ étant le nombre maximum d'itérations[25].