Autosimilarité

On dit qu'un compact K de Rⁿ est autosimilaire s'il existe une famille finie de p fonctions contractantes f_i de Rⁿ telle que K soit la réunion des f_i(K)[1]. Cette définition trouve son intérêt au moins dans le domaine de système de fonctions itérées puisque tout attracteur d'une famille de contractions est autosimilaire.

L'échelle nanoscopique.

Le Chou romanesco, un exemple d’objet autosimilaire naturel

Cette expression est ambiguë car l'autosimilitude approchée peut désigner une fractale, comme l’ensemble de Mandelbrot, dans laquelle des motifs et des structures générales se répètent à toutes les échelles.

L’autosimilitude statistique désigne généralement une propriété d’objet concret qui semble se comporter comme des objets possédant une autosimilitude approchée à nos échelles d’observation humaine. En effet, à partir de l'image d’un nuage, par exemple, il sera difficile de dire à quelle échelle a été prise la photographie. De même, la côte de Bretagne présente des similitudes, que l’observation se fasse d’avion ou à la loupe. Les courbes représentant le cours d’actions en bourse peuvent également être vues comme un objet autosimilaire, pour les mêmes raisons que les autres exemples.

Toutefois, ce dernier type d’objet autosimilaire ne correspond pas à la vision mathématique car, bien que l’on retrouve, en effet, des structures générales identiques à nos échelles, à l’échelle nanoscopique, les structures intimes de la matière font que l’autosimilitude disparaît.