Mandelbulb

D'autres formules viennent d'identités qui prennent comme paramètre la somme de carrés pour donner une puissance de la somme de carré comme :

${\displaystyle (x^{2}-y^{2}-z^{2})^{2}+(2xz)^{2}+(2xy)^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}$

On peut voir cela comme une manière d'élever au carré un trio de nombres pour que le module soit élevé au carré. Cela donne, par exemple :

${\displaystyle x\rightarrow x^{2}-y^{2}-z^{2}+x_{0}}$

${\displaystyle y\rightarrow 2xz+y_{0}}$

${\displaystyle z\rightarrow 2xy+z_{0}}$

ou d'autre permutations variées. Cette formule 'quadratique' peut être appliquée plusieurs fois pour obtenir plusieurs formules de puissance 2.

Fractale cubique.

D'autre formules viennent d'identités qui prennent comme paramètre la somme de carrés pour donner une puissance de la somme de carré comme :

${\displaystyle (x^{3}-3xy^{2}-3xz^{2})^{2}+(y^{3}-3yx^{2}+yz^{2})^{2}+(z^{3}-3zx^{2}+zy^{2})^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}$

On peut voir cela comme une manière d'élever au cube un trio de nombres pour que le module soit élevé au cube. Cela donne, par exemple :

${\displaystyle x\rightarrow x^{3}-3x(y^{2}+z^{2})+x_{0}}$

ou d'autre permutations, par exemple :

${\displaystyle y\rightarrow -y^{3}+3yx^{2}-yz^{2}+y_{0}}$

${\displaystyle z\rightarrow z^{3}-3zx^{2}+zy^{2}+z_{0}}$

Cela réduit la formule à la fractale complexe ${\displaystyle w\rightarrow w^{3}+w_{0}}$ lorsque z=0 et ${\displaystyle w\rightarrow {\overline {w}}^{3}+w_{0}}$ lorsque y=0.

Il y a plusieurs manières de combiner deux transformations cubiques comme celles-ci pour obtenir une transformation de puissance 9 qui a une structure plus volumineuse.

Mandelbulb quintique.

Une autre manière de créer des Mandelbulbs de symétrie cubique est en prenant la formule d'itération complexe ${\displaystyle z\rightarrow z^{4m+1}+z_{0}}$ pour un entier m et ajouter les termes pour rendre la structure symétrique en 3 dimensions mais en gardant la section transversale la même fractale bidimensionnelle (le 4 vient du fait que ${\displaystyle i^{4}=1}$). Par exemple, prenons le cas de ${\displaystyle z\rightarrow z^{5}+z_{0}}$. En deux dimensions où ${\displaystyle z=x+iy}$, c'est :

${\displaystyle x\rightarrow x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}+x_{0}}$

${\displaystyle y\rightarrow y^{5}-10y^{3}x^{2}+5yx^{4}+y_{0}}$

Mandelbulb quintique avec C=2.

Cela peut être prolongé à trois dimensions pour donner :

${\displaystyle x\rightarrow x^{5}-10x^{3}(y^{2}+Ayz+z^{2})+5x(y^{4}+By^{3}z+Cy^{2}z^{2}+Byz^{3}+z^{4})+Dx^{2}yz(y+z)+x_{0}}$

${\displaystyle y\rightarrow y^{5}-10y^{3}(z^{2}+Axz+x^{2})+5y(z^{4}+Bz^{3}x+Cz^{2}x^{2}+Bzx^{3}+x^{4})+Dy^{2}zx(z+x)+y_{0}}$

${\displaystyle z\rightarrow z^{5}-10z^{3}(x^{2}+Axy+y^{2})+5z(x^{4}+Bx^{3}y+Cx^{2}y^{2}+Bxy^{3}+y^{4})+Dz^{2}xy(x+y)+z_{0}}$

pour les constantes arbitraires A,B,C et D (la plupart du temps fixée à 0) qui donnent différents Mandelbulbs. Le cas de ${\displaystyle z\rightarrow z^{9}}$ donne un Mandelbulb assez similaire au premier exemple où n=9. Un résultat plus plaisant pour la cinquième puissance est obtenu en basant la fractale sur la formule : ${\displaystyle z\rightarrow -z^{5}+z_{0}}$.

Fractale avec z^9 sections transversales.

Cette fractale a des sections transversales de la fractale de Mandelbrot de puissance 9. Elle a 32 petits bulbes émergeant de la sphère principale. Il est défini par, par exemple :

${\displaystyle x\rightarrow x^{9}-36x^{7}(y^{2}+z^{2})+126x^{5}(y^{2}+z^{2})^{2}-84x^{3}(y^{2}+z^{2})^{3}+9x(y^{2}+z^{2})^{4}+x_{0}}$

${\displaystyle y\rightarrow y^{9}-36y^{7}(z^{2}+x^{2})+126y^{5}(z^{2}+x^{2})^{2}-84y^{3}(z^{2}+x^{2})^{3}+9y(z^{2}+x^{2})^{4}+y_{0}}$

${\displaystyle z\rightarrow z^{9}-36z^{7}(x^{2}+y^{2})+126z^{5}(x^{2}+y^{2})^{2}-84z^{3}(x^{2}+y^{2})^{3}+9z(x^{2}+y^{2})^{4}+z_{0}}$

Fractale basée sur z→-z^5.

Ces formules peuvent être écrites de manière plus simple :

${\displaystyle x\rightarrow {\frac {1}{2}}(x+i{\sqrt {y^{2}+z^{2}}})^{9}+{\frac {1}{2}}(x-i{\sqrt {y^{2}+z^{2}}})^{9}+x_{0}}$

et également pour les autres coordonnées.

Fractale de puissance neuf.

Une formule sphérique parfaite peut être définie par la formule :

${\displaystyle (x,y,z)\rightarrow (f(x,y,z)+x_{0},g(x,y,z)+y_{0},h(x,y,z)+z_{0})}$

où

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{n}=f(x,y,z)^{2}+g(x,y,z)^{2}+h(x,y,z)^{2}}$

où f, g et g sont des nièmes puissances de trinômes rationnels et n est un entier. La fractale cubique ci-dessus en est un exemple.

• Dans le film Disney Les Nouveaux Héros, l'apogée émotionnelle du film prend place au milieu d'un trou de ver, qui est représenté par l'intérieur stylisé d'un Mandelbulb[5].

• À la fin du film Annihilation (2018), la forme de vie d'origine extraterrestre se matérialise enfin sous une forme nébuleuse très proche d'une structure de type Mandelbulb.

• Mandelbox
• Liste de fractales

• Mandelbulb.com site dédié au Mandelbulb et à l'art graphique s'y rattachant
• Article de Jos Leys, sur le site "Image des mathématiques" (CNRS).
• Quelques explications complémentaires, par Jos Leys
• L'article original de Daniel White
• Un Mandelbulb, en haute définition
• Principales variantes du Mandelbulb, sur le site de Paul Nylander
• Vidéo : Aperçu d'un Mandelbulb
• Logiciel libre permettant, entre autres, la génération de Mandelbulb : Mandelbulber
• Logiciel libre permettant, entre autres, la génération de Mandelbulb : Mandelbulb3D
• Logiciel libre permettant, entre autres, la génération de Mandelbulb : Fragmentarium
• Logiciel non-libre permettant, entre autres, la génération de Mandelbulb ainsi que l'exportation vers modèle 3D classique OBJ : Quasz