Nombres de Feigenbaum

La première constante de Feigenbaum est définie comme la limite du rapport entre deux intervalles successifs de la bifurcation :

${\displaystyle \delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {\mu _{n+1}-\mu _{n}}{\mu _{n+2}-\mu _{n+1}}}}$.

Elle est apparue d'abord dans le cadre de la suite logistique où ${\displaystyle x_{k+1}=\mu x_{k}(1-x_{k})}$, initialement étudiée par Feigenbaum ; mais il découvrit très vite que la même constante était obtenue par exemple pour la suite ${\displaystyle x_{k+1}=\mu \sin x_{k}}$ ; des méthodes de calcul plus élaborées permettent d'obtenir

${\displaystyle \delta \approx }$ 4,6692 (suite A006890 de l'OEIS).

Il apparaît finalement que tout système chaotique qui obéit à la description de l'introduction respecte le même ratio limite ${\displaystyle \delta }$. La première constante de Feigenbaum peut être utilisée pour prédire quand le chaos arrivera dans un tel système.

Animation : Auto-similarité de l'ensemble de Mandelbrot près du point de Feigenbaum –1,401155 ; le facteur d'agrandissement d'un cycle au suivant est la constante ${\displaystyle \delta }$

L'ensemble de Mandelbrot contient la représentation de la cascade de bifurcations de la suite logistique sur l'axe réel. En effet, la détermination de l'ensemble de Mandelbrot consiste en l'étude de la version étendue aux nombres complexes de la suite logistique. On peut alors calculer la constante de Feigenbaum via le rapport des diamètres de la suite des composantes adjacentes de l'intérieur de l'ensemble de Mandelbrot issues de la composante principale et qui s'étend le long de l'axe réel (ces composantes correspondent à des paramètres ${\displaystyle \mu }$ de la suite logistique ayant un cycle de période doublant à chaque bifurcation).

La deuxième constante de Feigenbaum est définie comme la limite, pour deux bifurcations successives, du rapport des distances entre les deux branches les plus proches de f_m (le maximum de la fonction f) :

${\displaystyle \alpha =\lim _{n\to \infty }{\frac {d_{n}}{d_{n+1}}}\approx }$ 2,5029 (suite A006891 de l'OEIS).

Ces constantes s'appliquent à une large classe de systèmes dynamiques (tous ceux pour lesquels f présente un extremum quadratique). La première démonstration de cette universalité a été produite par Oscar Lanford avec assistance numérique, en 1982 (une correction mineure a été ulterieurement apportée par Jean-Pierre Eckmann et Peter Wittwer de l'université de Genève en 1987).

Il s'agit probablement de deux nombres transcendants, mais cette propriété n'est pas à ce jour démontrée (leur irrationalité n'est elle-même pas établie).