Lapin de Douady

On montre que l'étude dynamique des polynômes quadratiques complexes se ramène à l'étude de polynômes complexes P_c(z) de la forme P_c(z)=z²+c. En effet, tout polynôme quadratique est conjugué, via une transformation affine complexe, à un unique polynôme de la forme ci-dessus. Le nombre complexe c est donc un paramètre déterminant les propriétés dynamiques de tous les polynômes quadratiques holomorphiquement (affinement) conjugués à P_c.

En dynamique holomorphe, le comportement dynamique du point critique de la fonction considérée est un déterminant important de la dynamique globale. Le seul point critique (fini) du polynôme P_c est le point 0. La définition du lapin de Douady est donc fondée sur l'aspect de la dynamique globale de l'ensemble de Julia.

L'avion.

Il existe deux valeurs distinctes de c vérifiant les conditions de la définition, l'une étant conjuguée de l'autre, cependant, les ensembles de Julia correspondant se déduisent l'un de l'autre par la symétrie par rapport à l'axe réel. Ces valeurs sont trouvées de la manière suivante.

Les valeurs de c pour lesquelles le point critique du polynôme P_c(z)=z²+c est périodique de période 3 sont solutions de l'équation

${\displaystyle P_{c}(P_{c}(P_{c}(0)))=0}$

soit

${\displaystyle (c^{2}+c)^{2}+c=0.}$

Lorsque le paramètre c est tel que le point critique est fixe, il satisfait aussi l'équation ci-dessus. Or la seule valeur de c pour laquelle le point critique est fixe est c=0. Ce qui ramène à l'équation :

${\displaystyle c^{3}+2c^{2}+c+1=0.}$

On voit donc qu'il existe une solution réelle et deux solutions complexes conjuguées qui sont les valeurs des paramètres correspondant au lapin de Douady :

${\displaystyle c\approx -0.123\pm 0.745i}$

L'ensemble de Julia du paramètre réel solution de l'équation ci-dessus (pour ${\displaystyle c\approx -1.755}$) est appelé "avion". Comme pour le lapin de Douady, le point critique est périodique de période 3, néanmoins son orbite est entièrement réelle et l'aspect de cet ensemble de Julia diffère de façon importante de celui du lapin.

• Ensemble de Julia
• Dynamique holomorphe
• Dendrite (ensemble de Julia)
• Ensemble de Mandelbrot

Auteur : Adrien Douady, producteur : Écoutez Voir, réalisateurs : François Tisseyre et Dan Sorensen, « La dynamique du lapin », sur Canal-U, 1996