Système dynamique mesuré

Un système dynamique mesuré est la donnée d'un espace probabilisé ${\displaystyle (X,{\mathfrak {B}},\mu )}$ et d'une application mesurable f : X → X. On exige que f préserve la mesure, ce qui veut dire que :

${\displaystyle \forall B\in {\mathfrak {B}}\quad \mu (f^{-1}(B))=\mu (B).}$

Cette propriété très riche permet d'obtenir de puissants théorèmes. Par ailleurs, un théorème affirme qu'il existe, pour toute transformation continue X → X d'un espace topologique compact X, une mesure de probabilité, borélienne, préservant cette transformation. (C'est une application du théorème de représentation de Riesz-Markov).

• On peut étudier la fonction logistique : on prend X = [0, 1] et f(x) = 4x(1 – x). On munit X de sa tribu borélienne et l'on prend comme mesure ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}x}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$.
• Les rotations du cercle constituent des exemples plus évidents puisque la mesure d'angle normalisée dθ/2π est une mesure de probabilité invariante par toute rotation.
• On peut généraliser la transformation précédente en introduisant pour tout groupe topologique compact une mesure borélienne appelée mesure de Haar qui est invariante par toute rotation (i.e par toute application de la forme x ↦ ax)
• Voir également les décalages de Bernoulli.

On peut attribuer à chaque système dynamique mesuré un nombre appelé entropie métrique mesurant quantitativement sa complexité dynamique. C'est de plus un invariant de conjugaison.