Théorie du contrôle

On se place dans un ensemble, l'espace d'état ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ sur lequel on définit une dynamique, c'est-à-dire une loi mathématiques caractérisant l'évolution de variables ${\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {Z} }}$ (dites variables d'état) au sein de cet ensemble. Le déroulement du temps est modélisé par un entier ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$. La dynamique de l'état du système ${\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {Z} }}$ ne dépend généralement que de l'état du système à l'état précédent et de la valeur d'un paramètre a priori exogène (le paramètre de contrôle) noté ${\displaystyle u}$ et qui prend ses valeurs dans un ensemble ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$.

La dynamique du système est alors totalement définie par une fonction ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\times {\mathcal {U}}\times \mathbb {Z} \mapsto {\mathcal {X}}}$ et un point de départ ${\displaystyle \xi \in {\mathcal {X}}}$ ; elle s'écrit:

${\displaystyle (D1)\;\;x_{k+1}=f(x_{k},u_{k},k),\;x_{0}=\xi ,\;u_{k}\in {\mathcal {U}},\;k\in \mathbb {Z} }$

La question principale de la théorie du contrôle est : quel est le comportement de ${\displaystyle x}$ en fonction de celui de ${\displaystyle u}$?, par exemple peut-on choisir une suite de contrôles ${\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{N}}$ de telle sorte que ${\displaystyle x_{N}}$ vaille ${\displaystyle x^{*}}$, une valeur cible choisie par ailleurs?.

Le système (D1) qui est discret (le temps ne prend que des valeurs entières) a un équivalent continu (le temps s'écoule continument), que l'on peut écrire:

${\displaystyle (D2)\;\;{\dot {x}}(t)=g{\bigl (}x(t),u(t),t{\bigr )},\;x(0)=\xi ,\;u(t)\in {\mathcal {U}},\;t\in \mathbb {R} }$

Dans ce contexte ${\displaystyle {\dot {x}}(t)}$ est la dérivée temporelle de ${\displaystyle x}$ à l'instant ${\displaystyle t}$, il est donc nécessaire de munir ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ d'une structure donnant accès à la dérivation (par exemple une structure d'espace vectoriel normé).

• la conduite d'une voiture est un système dynamique contrôlé: le contrôle est l'angle du volant, les pressions exercée sur le frein et sur l'accélérateur, et l'état est la position de la voiture sur la route.
• le jeu de tennis est un système dynamique contrôlé: le contrôle est ma position sur le court ainsi que la position et le mouvement de ma raquette, et l'état est la position de la balle.
• le pilotage d'une torpille est aussi un système dynamique contrôlé: le contrôle est la position de ses aillettes, et l'état la position de la torpille.

Ces exemples montrent que l'objectif du contrôle est qualitativement assez naturel. Par exemple pour une voiture, il s'agit de rester sur la route ou de gagner une course, pour le tennis de renvoyer la balle sur le court, et pour la torpille de couler un navire qui se déplace.