Flot géodésique

En mathématiques, le flot géodésique, parfois également appelé coulée géodésique, permet de décrire la dynamique classique d'une particule massive se déplaçant librement sur une variété riemannienne V. Il est formalisé par un groupe continu à un paramètre qui opère sur le fibré tangent unitaire T₁V de la variété V.

Lorsque la variété V est compacte à courbure négative constante, le flot géodésique fournit à la physique théorique le modèle le plus simple de système hamiltonien complètement chaotique.

Description

Étant donné un point (x,v) du fibré tangent unitaire de V, soit $g:\mathbb {R} \rightarrow V$ l'unique géodésique de V telle que $g(0)=x$ et $g'(0)=v$ parcourue à vitesse constante égale à 1.

Le flot géodésique est alors défini par $\varphi (t,(x,v))=(g(t),g'(t))$

Exemples

Le flot géodésique des surfaces à courbure négative constante

Dès 1898, Hadamard reconnaissait que le flot géodésique sur une surface à courbure négative constante possédait une dynamique présentant la propriété de sensibilité aux conditions initiales, devenue depuis l'un des paradigmes de la théorie du chaos.

Ce flot est une parfaite illustration des propriétés de la hiérarchie ergodique ; il est en effet, par ordre d' « instabilité » croissante :

ergodique (Hedlund[1] et Hopf[2])
mélangeant (Hedlund[3] et Hopf[4])
hyperbolique (Anosov[5]). Il possède un exposant de Lyapounov strictement positif, qui s'identifie à son entropie de Kolmogorov-Sinaï.
isomorphe à un système de Bernoulli (Ornstein et Weiss[6]).

Bibliographie

Jacques Hadamard, « Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques », Journal de mathématiques pures et appliquées, vol. 4, 1898, 27.
(en) Yakov Pesin, « Geodesic flows with hyperbolic behavior of the trajectories and objects connected with them », Russian Mathematical Surveys, vol. 36, n^o 4, 1981, p. 3-15.
Pierre Pansu, « Le flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative », Séminaire Bourbaki, n^o 738, 1991, publié dans : Astérisque, n^o 201-203, 1991, p. 269-298.

Bibliothèque virtuelle

Mark Pollicott ; Lectures on ergodic theory, geodesic flows and related topics, Ulm (2003). Notes de cours non corrigées disponibles en pdf.

Mark Pollicott ; Dynamical zeta functions and closed orbits for geodesic and hyperbolic flows, Les Houches (2003). Notes de cours non corrigées disponibles en pdf.

Notes

(en) G. Hedlund, « On the metrical transitivity of the geodesics on closed surfaces of constant negative curvature », dans Annals of Mathematics, vol. 35, 1935, p. 787-808
(de) E. Hopf, Ergodentheorie, Springer, 1937
(en) G. Hedlund, « The dynamics of geodesic flows », dans Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 35, 1939, p. 241-246
(de) E. Hopf, « Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümung », dans Berichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, vol. 91, 1939, p. 261-304
(en) D. Anosov, « Geodesic flows on compact Riemannian manifolds of negative curvature », dans Proceedings of the Steklov Mathematical Institute, vol. 90, n° 1, 1967, p. 1-235
(en) D. Ornstein et B. Weiss, « Geodesic flows are Bernoullian », dans Israel Journal of Mathematics, vol. 14, 1973, p. 184

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