Disque de Poincaré

Un problème de base en géométrie analytique consiste à trouver une droite passant par deux points. Avec le disque de Poincaré, les droites sont des arcs de cercles qui ont des équations de cette forme :

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+1=0,}$

qui est la forme générale d'un cercle orthogonal au cercle unité, ou des diamètres. Étant donné deux points u et v du disque qui n'appartiennent pas un diamètre, nous obtenons, pour le cercle passant par ces points :

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {u_{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})-v_{2}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})+u_{2}-v_{2}}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x+{\frac {v_{1}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})-u_{1}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})+v_{1}-u_{1}}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0.}$

Si les points u et v sont des points de la frontière du disque non diamétralement opposés, cela se simplifie en :

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {2(u_{2}-v_{2})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x-{\frac {2(u_{1}-v_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0.}$

Il est possible de calculer l'angle entre un arc de cercle dont les points idéaux, qui sont ses extrémités donnés par les vecteurs unitaires u et v, et l'arc dont les extrémités sont s et t, au moyen d'une formule. Puisque les points idéaux sont les mêmes pour le modèle de Klein et le disque de Poincaré, les formules sont identiques pour chacun de ces modèles.

Si, dans chaque modèle, les droites sont des diamètres tels que v = –u et t = –s, alors il est possible de trouver l'angle ${\displaystyle \theta }$ entre deux vecteurs unitaires. La formule est la suivante :

${\displaystyle \cos(\theta )=u\cdot s.}$

Si v = -u mais t ≠ -s, la formule devient, en termes de produit vectoriel,

${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}},}$

où :

${\displaystyle P=u\cdot (s-t),}$

${\displaystyle Q=u\cdot u,}$

${\displaystyle R=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)}$

Si les cordes ne sont pas des diamètres, la formule générale donne :

${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}},}$

où :

${\displaystyle P=(u-v)\cdot (s-t)-(u\wedge v)\cdot (s\wedge t),}$

${\displaystyle Q=(u-v)\cdot (u-v)-(u\wedge v)\cdot (u\wedge v),}$

${\displaystyle R=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t).}$

En utilisant l'identité de Binet-Cauchy et le fait qu'il s'agit de vecteurs unitaires, il est possible de réécrire les expressions ci-dessus en termes de produit scalaire :

${\displaystyle P=(u-v)\cdot (s-t)+(u\cdot t)(v\cdot s)-(u\cdot s)(v\cdot t),}$

${\displaystyle Q=(1-u\cdot v)^{2},}$

${\displaystyle R=(1-s\cdot t)^{2}.}$

• Géométrie hyperbolique
• Modèle de Klein
• Demi-plan de Poincaré
• Métrique de Poincaré
• Inversion

• (en) James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer, 2005, 2^e éd.
• (it) Eugenio Beltrami, « Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costanta », Annali di Mat., iI, vol. 2,‎ 1868, p. 232-255
• (en) Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane, Jones & Bartlett, 1993