Géométrie conforme

Le groupe conforme pour la forme quadratique de Minkowski ${\displaystyle q(x,y)=2xy}$ dans le plan est le groupe de Lie abélien

${\displaystyle \operatorname {CSO} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}{\rm {e}}^{a}&0\\0&{\rm {e}}^{b}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbb {R} \right\}}$,

avec l'algèbre de Lie ${\displaystyle \operatorname {CSO} (1,1)}$ constituée de toutes les matrices réelles diagonales 2 × 2.

On considère maintenant le plan de Minkowski, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ équipé de la métrique

${\displaystyle g=2\,dx\,dy~.}$

Un groupe de transformations conformes à un paramètre donne lieu à un champ vectoriel ${\displaystyle X}$ tel que la dérivée de Lie de ${\displaystyle g}$ le long de ${\displaystyle X}$ est proportionnelle à ${\displaystyle g}$. Symboliquement,

${\displaystyle \mathbf {L} _{X}g=\lambda g}$ pour certains ${\displaystyle \lambda }$.

En particulier, en utilisant la description supra de l'algèbre de Lie ${\displaystyle \operatorname {CSO} (1,1)}$, cela implique que

1. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}dx=a(x)dx}$
2. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}dy=b(y)dy}$

pour certaines fonctions à valeurs réelles ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ dépendant respectivement de ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$.

Réciproquement, étant donné une telle paire de fonctions à valeurs réelles, il existe un champ vectoriel ${\displaystyle X}$ satisfaisant ces deux propriétés. Ainsi l'algèbre de Lie des symétries infinitésimales de la structure conforme, l'algèbre de Witt (en), est de dimension infinie.

La compactification conforme du plan de Minkowski est un produit cartésien de deux cercles ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$. Sur le revêtement, il n'y a pas d'obstacle à l'intégration des symétries infinitésimales, et donc le groupe de transformations conformes est le groupe de Lie de dimension infinie

${\displaystyle (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1}))\times (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1}))}$,

où ${\displaystyle \mathrm {Diff} (S^{1})}$ est le groupe de difféomorphisme du cercle[1].

Le groupe conforme ${\displaystyle \operatorname {CSO} (1,1)}$ et son algèbre de Lie sont d'intérêt courant dans la théorie des champs conformes à deux dimensions.

Une grille de coordonnées avant une transformation de Möbius

La même grille après une transformation de Möbius

Le groupe des symétries conformes de la forme quadratique

${\displaystyle q(z,{\bar {z}})=z{\bar {z}}}$

est le groupe ${\displaystyle GL_{1}(C)=C^{\times }}$, le groupe multiplicatif (en) des nombres complexes. Son algèbre de Lie est ${\displaystyle gl_{1}(C)=C}$.

On considère le plan complexe (euclidien) muni de la métrique

${\displaystyle g=dz\,d{\bar {z}}.}$

Les symétries conformes infinitésimales satisfont

1. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,dz=f(z)\,dz}$
2. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,d{\bar {z}}=f({\bar {z}})\,d{\bar {z}}}$,

où ${\displaystyle f}$ satisfait l'équation de Cauchy-Riemann, et est donc holomorphe sur son domaine (voir Algèbre de Witt (en)).

Les isométries conformes d'un domaine consistent donc en des automorphismes holomorphes. En particulier, sur la compactification conforme – la sphère de Riemann – les transformations conformes sont données par les transformations de Möbius

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

telles que ${\displaystyle ad-bc}$ est non nul.

En deux dimensions, le groupe d'automorphismes conformes d'un espace peut être assez grand (comme dans le cas de la signature lorentzienne) ou variable (comme dans le cas de la signature euclidienne). Le manque de rigidité relatif du cas bidimensionnel avec celui des dimensions supérieures tient au fait analytique que les développements asymptotiques des automorphismes infinitésimaux de la structure sont relativement peu contraints. Dans la signature lorentzienne, le degré de liberté est dans une paire de fonctions à valeurs réelles. Dans la signature euclidienne, le degré de liberté est dans une seule fonction holomorphe.

Dans le cas des dimensions supérieures, les développements asymptotiques des symétries infinitésimales sont au plus des polynômes quadratiques [2]. En particulier, ils forment une algèbre de Lie de dimension finie. Les symétries conformes infinitésimales ponctuelles d'une variété peuvent être intégrées précisément lorsque la variété est un certain modèle d'espace plat conforme (jusqu'à prendre des couvertures universelles et des quotients de groupes discrets)[3].

La théorie générale de la géométrie conforme est similaire, bien qu'avec quelques différences, dans les cas de signature euclidienne et pseudo-euclidienne[4]. Dans les deux cas, il existe un certain nombre de façons d'introduire l'espace modèle d'une géométrie conformément plate. Sauf indication contraire du contexte, cet article traite le cas de la géométrie conforme euclidienne, étant entendu qu'il s'applique également, mutatis mutandis, à la situation pseudo-euclidienne.

Le modèle inversif de géométrie conforme est constitué par l'ensemble des transformations locales sur l'espace euclidien ${\displaystyle \mathbf {E} ^{n}}$ généré par inversion dans les sphères. D'après le théorème de Liouville sur les prolongements conformes (en), toute transformation locale (conforme) préservant l'angle est de cette forme. De ce point de vue, les propriétés de transformation de l'espace conforme plat sont celles de la géométrie inversive.

Le modèle projectif identifie la sphère conforme à une certaine quadrique dans un espace projectif. Soit ${\displaystyle q}$ la forme quadratique lorentzienne sur ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n+2}}$ définie par

${\displaystyle q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n+1})=-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}.}$

Dans l'espace projectif ${\displaystyle \mathbf {P} \left(\mathbf {R} ^{n+2}\right)}$, soit ${\displaystyle S}$ le lieu tel que ${\displaystyle q=0}$. Alors ${\displaystyle S}$ est le modèle projectif (ou de Möbius) de la géométrie conforme. Une transformation conforme sur ${\displaystyle S}$ est une transformation linéaire projective de ${\displaystyle \mathbf {P} \left(\mathbf {R} ^{n+2}\right)}$ qui laisse la quadrique invariante.

Dans une construction apparentée, la quadrique ${\displaystyle S}$ est considérée comme la sphère céleste à l'infini du cône nul dans l'espace de Minkowski ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n+1,1}}$, qui est muni de la forme quadratique ${\displaystyle q}$ comme ci-dessus. Le cône nul est défini par

${\displaystyle N=\left\{(x_{0},\ldots ,x_{n+1})\mid -2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=0\right\}.}$

C'est le cône affine sur la quadrique projective ${\displaystyle S}$. Soit ${\displaystyle N^{+}}$ la partie future du cône nul (avec l'origine supprimée). Alors la projection tautologique ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n+1,1}\setminus 0\rightarrow \mathbf {P} \left(\mathbf {R} ^{n+2}\right)}$ se restreint à une projection ${\displaystyle N^{+}\rightarrow S}$. Cela donne à ${\displaystyle N^{+}}$ la structure d'un fibré de droites sur ${\displaystyle S}$. Les transformations conformes sur ${\displaystyle S}$ sont induites par les transformations orthochrones de Lorentz de ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n+1,1}}$, puisque ce sont des transformations linéaires homogènes préservant le futur cône nul.

Intuitivement, la géométrie conformément plate d'une sphère est moins rigide que la géométrie riemannienne d'une sphère. Les symétries conformes d'une sphère sont générées par l'inversion de toutes ses hypersphères. D'autre part, les isométries riemanniennes d'une sphère sont générées par des inversions dans des hypersphères géodésiques (par le théorème de Cartan-Dieudonné). La sphère euclidienne peut être projetée sur la sphère conforme de manière canonique, mais pas l'inverse.

La sphère unité euclidienne est le lieu dans ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n+1}}$ de

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

Cela peut être mis en correspondance avec l'espace de Minkowski ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n+1,1}}$ en posant

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\sqrt {2}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {z-1}{\sqrt {2}}}.}$

On voit aisément que l'image de la sphère sous cette transformation est nulle dans l'espace de Minkowski, et qu'elle repose donc sur le cône ${\displaystyle N^{+}}$. Par conséquent, il détermine une section du faisceau de lignes ${\displaystyle N^{+}\rightarrow S}$.

Néanmoins, il y a eu un choix arbitraire. Si ${\displaystyle \kappa (x)}$ est une fonction positive quelconque de ${\displaystyle x=(z,x_{0},\ldots ,x_{n})}$, alors l'affectation

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\kappa (x){\sqrt {2}}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {(z-1)\kappa (x)}{\sqrt {2}}}}$

donne également une application en ${\displaystyle N^{+}}$. La fonction ${\displaystyle \kappa }$ est un choix arbitraire d'échelle conforme.

Une métrique riemannienne représentative sur la sphère est une métrique proportionnelle à la métrique de sphère standard. Cela donne une réalisation de la sphère comme une variété conforme. La métrique de sphère standard est la restriction de la métrique euclidienne sur ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n+1}}$

${\displaystyle g=dz^{2}+dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}$

à la sphère

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1}$.

Un représentant conforme de ${\displaystyle g}$ est une métrique de la forme ${\displaystyle \lambda ^{2}g}$, où ${\displaystyle \lambda }$ est une fonction positive sur la sphère. La classe conforme de ${\displaystyle g}$, notée${\displaystyle [\,g\,]}$, est la collection de tous ces représentants :

${\displaystyle [\,g\,]=\left\{\lambda ^{2}g\mid \lambda >0\right\}}$.

Un plongement de la sphère euclidienne dans ${\displaystyle N^{+}}$, comme dans la section précédente, détermine une échelle conforme sur ${\displaystyle S}$. Inversement, toute échelle conforme sur ${\displaystyle S}$ est donnée par un tel plongement. Ainsi le fibré de droites ${\displaystyle N^{+}\rightarrow S}$ s'identifie au fibré des échelles conformes sur ${\displaystyle S}$ : donner une section de ce fibré revient à spécifier une métrique dans la classe conforme ${\displaystyle [\,g\,]}$.

Une autre façon de réaliser les métriques représentatives consiste à utiliser un système de coordonnées spécial sur ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n+1,1}}$. Supposons que la n-sphère euclidienne ${\displaystyle S}$ porte un système de coordonnées stéréographiques. Cela consiste en l'application suivante de ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\rightarrow S\subset \mathbf {R} ^{n+1}}$ :

${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbf {R} ^{n}\mapsto \left({\frac {2\mathbf {y} }{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}-1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}\right)\in S\subset \mathbf {R} ^{n+1}}$.

En fonction de ces coordonnées stéréographiques, il est possible de donner un repère sur le cône nul ${\displaystyle N^{+}}$ dans l'espace de Minkowski. En utilisant l'encastrement donné ci-dessus, la section métrique représentative du cône nul est

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}={\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}={\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}}$.

On introduit une nouvelle variable ${\displaystyle t}$ correspondant aux dilatations vers le haut ${\displaystyle N^{+}}$, de sorte que le cône nul soit coordonné par

${\displaystyle x_{0}=t{\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}=t{\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}=t{\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}}$.

Enfin, soit ${\displaystyle \rho }$ la fonction de définition suivante de ${\displaystyle N^{+}}$ :

${\displaystyle \rho ={\frac {-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{t^{2}}}}$.

En coordonnées ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle y}$ sur ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n+1,1}}$, la métrique de Minkowski prend la forme :

${\displaystyle t^{2}g_{ij}(y)\,dy^{i}\,dy^{j}+2\rho \,dt^{2}+2t\,dt\,d\rho }$,

où ${\displaystyle g_{ij}}$ est la métrique sur la sphère.

En ces termes, une section du fibré ${\displaystyle N^{+}}$ consiste en une spécification de la valeur de la variable ${\displaystyle t=t\left(y^{i}\right)}$ en fonction des ${\displaystyle y^{i}}$ le long du cône nul ${\displaystyle \rho =0}$. Cela donne le représentant suivant de la métrique conforme sur ${\displaystyle S}$ :

${\displaystyle t(y)^{2}g_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j}}$.

On considère d'abord le cas de la géométrie conforme plate en signature euclidienne. Le modèle à ${\displaystyle n}$ dimensions est la sphère céleste de l'espace lorentzien à ${\displaystyle (n+2)\,\mathbf {R} ^{n+1,1}}$. Ici le modèle est une géométrie de Klein (en) : un espace homogène ${\displaystyle G/H}$ où ${\displaystyle G=\operatorname {SO} (n+1,1)}$ agissant sur l'espace lorentzien ${\displaystyle (n+2)}$ de dimension ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n+1,1}}$ et ${\displaystyle H}$ est le groupe d'isotropie de un rayon nul fixe dans le cône de lumière. Ainsi les modèles conformément plats sont les espaces de géométrie inversive. Pour un tenseur métrique pseudo-euclidien de signature ${\displaystyle (p,q)}$, la géométrie plate du modèle est définie de manière analogue comme l'espace homogène ${\displaystyle O(p+1,q+1)/H}$, où ${\displaystyle H}$ est à nouveau pris comme stabilisateur d'une ligne nulle. On notera que les espaces modèles euclidiens et pseudo-euclidiens sont compacts.

Pour décrire les groupes et algèbres impliqués dans l'espace modèle plat, on fixe la forme suivante sur ${\displaystyle \mathbf {R} ^{p+1,q+1}}$ :

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&J&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}}$

où ${\displaystyle J}$ est une forme quadratique de signature ${\displaystyle (p,q)}$. Alors ${\displaystyle G=O(p+1,q+1)}$ consiste en ${\displaystyle (n+2)\times (n+2)}$ matrices stabilisant ${\displaystyle Q:\,^{t}MQM=Q}$. L'algèbre de Lie admet une décomposition de Cartan

${\displaystyle \mathbf {g} =\mathbf {g} _{-1}\oplus \mathbf {g} _{0}\oplus \mathbf {g} _{1}}$

où

${\displaystyle \mathbf {g} _{1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&^{t}p&0\\0&0&J^{-1}p\\0&0&0\end{pmatrix}}\right|p\in \mathbb {R} ^{n}\right\},\quad \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&0&0\\^{t}q&0&0\\0&qJ^{-1}&0\end{pmatrix}}\right|q\in (\mathbb {R} ^{n})^{*}\right\}}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{0}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}-a&0&0\\0&A&0\\0&0&a\end{pmatrix}}\right|A\in {\mathfrak {so}}(p,q),a\in \mathbb {R} \right\}.}$

Alternativement, cette décomposition s'accorde avec une structure d'algèbre de Lie naturelle définie sur ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\oplus \operatorname {CSO} (p,q)\oplus (\mathbf {R} ^{n})^{*}}$.

Le stabilisateur du rayon nul pointant vers le dernier vecteur de coordonnées est donné par la sous-algèbre de Borel (en) :

${\displaystyle h=\mathbf {g} _{0}\oplus \mathbf {g} _{1}}$.