Fibré en droites

Un fibré en droites est déterminé par le choix d'une droite, c'est-à-dire d'un espace vectoriel de dimension un, pour chaque point de l'espace considéré, ce choix devant être continu. En général, il s'agit d'un espace vectoriel réel ou complexe. On en donne maintenant la définition complète.

Soit ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$, et soit ${\displaystyle X}$ une variété différentielle[4]. Alors un fibré en droites est formellement un couple ${\displaystyle (F,\pi )}$ formé d'une variété différentielle ${\displaystyle F}$ et d'une surjection lisse ${\displaystyle \pi :F\to X}$, satisfaisant les propriétés suivantes :

• Pour tout point ${\displaystyle x\in X}$, chaque fibre ${\displaystyle F_{x}=\pi ^{-1}(x)}$ est un ${\displaystyle k}$-espace vectoriel de dimension un ;
• Pour tout point ${\displaystyle x\in X}$, il existe un voisinage ${\displaystyle U_{x}\subset X}$ et un difféomorphisme ${\displaystyle \phi$ :\pi ^{-1}(U)\to U\times k} tel que :
  • Pour tout point ${\displaystyle u\in U}$, ${\displaystyle \phi (F_{u})\subset \{u\}\times k}$
  • Pour tout point ${\displaystyle u\in U}$, l'application restreinte ${\displaystyle \phi |_{F_{u}}:F_{u}\to \{u\}\times k}$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Le second axiome est appelé « condition de trivialité locale » : il capture l'idée que, si on se restreint à un petit voisinage, le fibré en droites ressemble à un produit cartésien ${\displaystyle X\times k}$. En particulier, cette propriété implique que l'application ${\displaystyle \pi }$ d'un fibré en droites est une submersion.

Fibrés en droites sur le cercle : en bas, le fibré trivial ; en haut, le fibré tangent.

Toute variété algébrique peut être dotée d'au moins deux fibrés en droites (qui ne sont pas nécessairement distincts) : le fibré trivial et le fibré canonique (voir plus bas).

Condition de trivialité locale illustrée sur le ruban de Möbius, qui est un fibré en droites sur le cercle S¹ : localement, le fibré se comporte comme un produit cartésien

Théorème de Riemann-Roch

Soit ${\displaystyle F}$ un fibré en droites de degré ${\displaystyle d}$ sur une courbe projective non singulière ${\displaystyle C}$, de genre ${\displaystyle g}$. On note ${\displaystyle H^{0}(C;F)}$ l'ensemble des sections globales de ${\displaystyle F}$ sur ${\displaystyle C}$. Cet ensemble possède en fait la structure d'un espace vectoriel, et on note ${\displaystyle h^{0}(C;F)=\dim H^{0}(C;F)}$. Alors le théorème de Riemann-Roch montre que :

$${\displaystyle h^{0}(C;F)-h^{0}(C;\Omega ^{1}\otimes F^{\vee })=d-g+1}$$

avec ${\displaystyle F^{\vee }}$ le fibré dual et ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ le fibré canonique sur ${\displaystyle C}$.

• Le fibré trivial sur ${\displaystyle X}$ est défini par ${\displaystyle X\times k}$, avec ${\displaystyle \pi }$ la projection sur la première coordonnée. Tout fibré ${\displaystyle F}$ isomorphe au fibré trivial est également appelé trivial, et l'isomorphisme de fibrés correspondant est appelé une trivialisation de ${\displaystyle F}$. Une caractérisation des fibrés triviaux est qu'ils possèdent une section qui ne s'annule jamais, ainsi toutes les connexions sur un fibré trivial sont de la forme ${\displaystyle \nabla =\mathrm {d} +A}$ avec ${\displaystyle A}$ une 1-forme sur ${\displaystyle X}$.
• Si ${\displaystyle V}$ est une variété algébrique non singulière de dimension ${\displaystyle n}$, le fibré canonique associé à ${\displaystyle V}$ est le fibré en droites ${\displaystyle \Omega ^{n}=\omega }$, défini comme la ${\displaystyle n}$-ième puissance extérieure du fibré cotangent ${\displaystyle \Omega }$ sur ${\displaystyle V}$.
• Sur la sphère ${\displaystyle X=\mathbb {S} ^{2}}$, on peut considérer l'espace tangent en tout ${\displaystyle x\in X}$ : ${\displaystyle T_{x}\mathbb {S} ^{2}=\{u\in \mathbb {R} ^{3},\langle u,x\rangle =0\}}$. Il s'agit d'un espace vectoriel réel de dimension deux, mais on peut également le voir comme un espace vectoriel complexe de dimension un, et c'est alors un fibrés en droites complexe. On peut définir une connexion sur ce fibré en posant ${\displaystyle \rho _{x}:v\mapsto v-\langle x,v\rangle }$(la projection orthogonale sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) et en fixant ${\displaystyle \nabla (s)=\rho (\mathrm {d} s)}$.
• Puisque ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {F} _{2})\simeq \mathbb {F} _{2}}$, il n'y a que deux fibrés en droite (à isomorphisme près, voir plus bas) sur le cercle : le fibré trivial, qui est orientable, et le fibré qui donne le ruban de Möbius, qui n'est pas orientable.
• L'un des exemples les plus importants de fibrés en droites en topologie algébrique est le fibré en droites tautologique sur l'espace projectif. La projectivisation ${\displaystyle \mathbb {P} V}$ d'un espace vectoriel V sur un corps k est définie comme le quotient de ${\displaystyle V-\{0\}}$ par l'action du groupe multiplicatif k^×. Chaque point de ${\displaystyle \mathbb {P} V}$ correspond donc à une copie de k^×, et ces copies de k^× peuvent être assemblés en un k^×-fibré sur ${\displaystyle \mathbb {P} V}$. k^× ne diffère de k que par un seul point, et en ajoutant ce point à chaque fibre, nous obtenons un fibré en droites sur ${\displaystyle \mathbb {P} V}$. Ce fibré est dit tautologique, et noté ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$ (car il correspond au dual du faisceau de Serre ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)}$. En particulier ce fibré n'est pas trivial.
• De manière générale, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m_{1})\neq {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m_{2})}$ si ${\displaystyle m_{1}\neq m_{2}}$, et ce sont en fait les seuls faisceaux inversibles sur l'espace projectif. On a donc ${\displaystyle \operatorname {Pic} \mathbb {P} ^{n}\mathbb {C} \simeq \mathbb {Z} }$, et un générateur est donné par ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)}$. (En réalité, on a davantage : ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m_{1}+m_{2})\simeq {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m_{1})\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m_{2})}$.) Pour cette raison le fibré tautologique est aussi appelé fibré universel.
• Le groupe de Picard des fibrés en droite sur un espace projectif ${\displaystyle \mathbb {P} V}$ est cyclique, infini, et engendré par le fibré tautologique.
• Les applications vers l'espace projectif correspondent à un espace vectoriel de sections d'un fibré en droites.
• Considérons la variété ${\displaystyle E:y^{2}z=x^{3}+xz^{2}}$ (il s'agit d'une courbe elliptique en coordonnées projectives). On peut tirer en arrière le fibré en droites ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(2)}$sur ${\displaystyle E}$. Le fibré possède alors 6 sections linéairement indépendantes. De même, on peut tirer en arrière ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(3)}$ sur ${\displaystyle E}$, qui possède 9 sections indépendantes ; il existe une section supplémentaire, donnée par ${\displaystyle y^{2}z-x^{3}-xz^{2}}$, qui est évidemment nulle. Les fibrés en droites sur les courbes elliptiques ont été déterminés dans le cas général par Atiyah en 1957[6].
• Il existe en fait une bijection naturelle entre les points d'une courbe de genre 1, et les fibrés en droites sur cette droite qui ont degré 1.

Une classe caractéristique est une fonction qui associe à tout fibré ${\displaystyle F}$ sur ${\displaystyle X}$ un représentant d'une classe de la cohomologie de ${\displaystyle X}$, de manière « naturelle » c'est-à-dire en commutant avec les applications induites sur la cohomologie. Une classe caractéristique peut également s'interpréter comme une obstruction à l'existence de certaines sections[7]. On discute ici les classes caractéristiques que l'on peut construire sur les fibrés en droites, en notant que le principe de décomposition permet d'en étendre la définition à des fibrés vectoriels généraux[8].

• Fibré, fibré dual
• Fibré vectoriel, fibré vectoriel Riemannien
• Fibré en cercles, fibré en coniques
• Fibré tangent (unitaire), fibré cotangent, fibré normal
• Fibré principal
• Fibré de Seifert
• K-théorie