Groupe de Picard

Soit ${\displaystyle X}$ un schéma avec son faisceau structural ${\displaystyle O_{X}}$. Un faisceau inversible ${\displaystyle L}$ sur ${\displaystyle X}$ est un faisceau cohérent localement libre de rang 1. Cela signifie que ${\displaystyle L}$ est un faisceau de ${\displaystyle O_{X}}$-modules, et que tout point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$ possède un voisinage ouvert ${\displaystyle U}$ tel que ${\displaystyle L|_{U}}$ soit isomorphe à ${\displaystyle O_{X}|_{U}}$. Le faisceau dual ${\displaystyle L'}$ défini par

${\displaystyle L'(U)=Hom_{O_{X}(U)}(L(U),O_{X}(U))}$

pour tout ouvert ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle X}$ est alors aussi un faisceau inversible, et on a un isomorphisme de faisceaux canonique du produit tensoriel ${\displaystyle L\otimes L'}$ avec ${\displaystyle O_{X}}$.

Définition L'ensemble des classes d'isomorphisme des faisceaux inversibles sur ${\displaystyle X}$ est appelé le groupe de Picard de ${\displaystyle X}$ et est noté Pic(${\displaystyle X}$). Le produit tensoriel induit une loi de multiplication sur Pic(${\displaystyle X}$) qui en fait un groupe commutatif. L'élément neutre est la classe de ${\displaystyle O_{X}}$, et l'inverse de la classe de ${\displaystyle L}$ est la classe du dual ${\displaystyle L'}$.

En termes de la cohomologie de Zariski, le groupe de Picard est isomorphe au groupe ${\displaystyle H^{1}(X,O_{X}^{*})}$ pour le faisceau des éléments inversibles ${\displaystyle O_{X}^{*}}$ de ${\displaystyle O_{X}}$. En cohomologie étale ou fppf, le groupe de Picard est isomorphe à ${\displaystyle H^{1}(X,G_{m})}$ où ${\displaystyle G_{m}}$ est le faisceau (étale ou fppf) qui à ${\displaystyle T}$ associe ${\displaystyle O(T)^{*}}$.

Si ${\displaystyle f:X\to Y}$ est un morphisme de schémas, l'image réciproque par ${\displaystyle f}$ induit un homomorphisme de groupes de Picard

${\displaystyle f^{*}:{\rm {Pic}}(Y)\to {\rm {Pic}}(X),L\to f^{*}L}$.

Lorsque ${\displaystyle X}$ est une variété projective sur un corps, à tout faisceau inversible ${\displaystyle L}$ on peut associer un degré ${\displaystyle \deg L}$ qui est un entier relatif.

Si ${\displaystyle X}$ est une courbe projective lisse géométriquement connexe sur un corps ${\displaystyle k}$, le groupe Pic${\displaystyle ^{0}(X)}$ correspondant aux faisceaux inversibles de degré 0 est le groupe des points rationnels de la jacobienne de ${\displaystyle X}$, du moins pour des corps convenables (par exemple algébriquement clos ou fini) ou si ${\displaystyle X}$ a un point rationnel. C'est un sous-groupe de Pic(${\displaystyle X}$) et le groupe quotient Pic(${\displaystyle X}$)/Pic${\displaystyle ^{0}(X)}$ est isomorphe à ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Si ${\displaystyle X}$ est le spectre d'un anneau de Dedekind ${\displaystyle A}$, alors Pic(${\displaystyle X}$) est isomorphe au groupe des classes de ${\displaystyle A}$ (le quotient du groupe des idéaux fractionnaires par le groupe des idéaux fractionnaires principaux). En particulier, Pic(${\displaystyle X}$) est trivial si et seulement si ${\displaystyle A}$ est principal.

On note par ${\displaystyle K_{X}}$ le faisceau des fonctions rationnelles sur ${\displaystyle X}$. Sa définition est un peu délicate dans le cas général. Mais si ${\displaystyle X}$ est intègre, l'anneau des sections de ${\displaystyle K_{X}}$ sur un ouvert non-vide est juste le corps de fractions de ${\displaystyle O_{X}(V)}$ pour n'importe quel ouvert affine ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle X}$. Par construction, c'est un faisceau d'anneaux qui contient ${\displaystyle O_{X}}$. On a donc une inclusion des faisceaux des groupes des éléments inversibles de ${\displaystyle O_{X}^{*}}$ dans ${\displaystyle K_{X}^{*}}$. On a une suite exacte de faisceaux de groupes

${\displaystyle 1\to O_{X}^{*}\to K_{X}^{*}\to K_{X}^{*}/O_{X}^{*}\to 1.}$

Par définition, le groupe des diviseurs de Cartier est le groupe des sections globales ${\displaystyle H^{0}(X,K_{X}^{*}/O_{X}^{*})}$. On note CaCl(${\displaystyle X}$) le quotient de ce groupe par l'image canonique du groupe ${\displaystyle H^{0}(X,K_{X}^{*})}$ (cette image correspond aux diviseurs de Cartier principaux). La suite longue exacte de cohomologie donne un homomorphisme injectif

${\displaystyle CaCl(X)\to H^{1}(X,O_{X}^{*})=Pic(X)}$.

La représentation locale des diviseurs de Cartier permet d'expliciter cet homomorphisme et on voit que l'image de cet homomorphisme est l'ensemble des classes d'isomorphisme des faisceaux inversibles contenus dans ${\displaystyle K_{X}}$.

• Proposition L'homomorphisme ci-dessus est un isomorphisme lorsque ${\displaystyle X}$ est un schéma noethérien qui est réduit ou qui est quasi-projectif sur un anneau noethérien.

Ainsi on a un isomorphisme entre le groupe des classes d'équivalence des diviseurs de Cartier et le groupe de Picard lorsque ${\displaystyle X}$ est une variété quasi-projective sur un corps ou si ${\displaystyle X}$ est un schéma intègre.

Soit ${\displaystyle X\to S}$ un morphisme de schémas. Pour tout ${\displaystyle S}$-schéma ${\displaystyle T}$, on peut considérer le groupe de Picard ${\displaystyle {\rm {Pic}}(X\times _{S}T)}$ ainsi que son quotient par ${\displaystyle q^{*}{\rm {Pic}}(T)}$ où ${\displaystyle q:X\times _{S}T\to T}$ est le morphisme de projection. On obtient ainsi un foncteur contravariant de la catégorie des ${\displaystyle S}$-schémas vers la catégorie des groupes commutatifs, qui

• à ${\displaystyle T}$ associe ${\displaystyle {\rm {Pic}}(X\times _{S}T)/q^{*}{\rm {Pic}}(T)}$.

Cela définit un préfaisceau pour la topologie étale ou fppf dans la catégorie des ${\displaystyle S}$-schémas. Le faisceau étale ou fppf associé au foncteur de Picard est noté ${\displaystyle {\rm {Pic}}_{X/S}}$ et est appelé le foncteur de Picard relatif. . Sous certaines conditions ce foncteur est représentable par un schéma en groupes sur ${\displaystyle S}$. C'est le cas par exemple lorsque ${\displaystyle X}$ est une courbe projective lisse à fibres géométriquement connexes sur ${\displaystyle S}$. La composante neutre ${\displaystyle {\rm {Pic}}_{X/S}^{0}}$ du schéma en groupes ${\displaystyle {\rm {Pic}}_{X/S}}$ est précisément la jacobienne de ${\displaystyle X}$ (la situation habituelle est celle où ${\displaystyle S}$ est le spectre d'un corps).

• S. Bosch, W. Lütkebohmert et M. Raynaud: Néron models, Springer-Verlag 1990.