Variété projective

On fixe un corps (commutatif) k.

• Algèbre homogène. Soit B le quotient de ${\displaystyle k[T_{0},\ldots ,T_{n}]}$ par un idéal homogène (c.-à-d. idéal engendré par des polynômes homogènes). C'est alors une algèbre graduée

${\displaystyle B=\oplus _{d\geq 0}B_{d},}$

où ${\displaystyle B_{d}}$ est l'ensemble des classes modulo I des polynômes homogènes de degrés ${\displaystyle d}$. Les éléments de ${\displaystyle B_{d}}$ sont appelés des éléments homogènes de degré ${\displaystyle d}$. Un idéal homogène de B est un idéal engendré par des éléments homogènes. Un idéal homogène particulier est ${\displaystyle B_{+},}$ ensemble des éléments homogènes de degré strictement positif. C'est l'idéal maximal engendré par les classes des ${\displaystyle T_{0},\ldots ,T_{n}}$.

• Espace topologique. Par définition, l'ensemble ${\displaystyle {\rm {Proj}}B}$ est constitué des idéaux premiers homogènes de B ne contenant pas ${\displaystyle B_{+}}$ (donc strictement contenus dans ${\displaystyle B_{+}}$) et maximaux pour cette propriété. Pour tout idéal homogène I, on note ${\displaystyle V_{+}(I)}$ l'ensemble des idéaux premiers ${\displaystyle q}$ dans ${\displaystyle {\rm {Proj}}B}$ contenant I. Lorsque l'on fait varier les I, les parties ${\displaystyle V_{+}(I)}$ de ${\displaystyle {\rm {Proj}}B}$ constituent les parties fermées de la topologie de Zariski sur ${\displaystyle {\rm {Proj}}B}$.
• Une base de topologie. Si f est un élément homogène, on note ${\displaystyle D_{+}(f)}$ le complémentaire de ${\displaystyle V_{+}(fB)}$. C'est un ouvert principal. Les ouverts principaux constituent une base de topologie. De plus, l'espace topologique ${\displaystyle D_{+}(f)}$ est homéomorphe au spectre maximal ${\displaystyle {\rm {Spm}}(B_{(f)})}$, où ${\displaystyle B_{(f)}}$ est l'ensemble des éléments de la localisation ${\displaystyle B_{f}}$ qui peuvent être représentés par une fraction ${\displaystyle b/f^{m}}$ avec b homogène de degré ${\displaystyle m\deg f}$. L'algèbre ${\displaystyle B_{(f)}}$ est de type fini sur k.
• Proposition. Il existe une unique structure de variété algébrique sur ${\displaystyle {\rm {Proj}}B}$ telle que pour tout f homogène, la sous-variété ouverte ${\displaystyle D_{+}(f)}$ soit isomorphe à la variété affine ${\displaystyle {\rm {Spm}}B_{(f)}}$.
• Définition. Une variété projective sur k est une variété algébrique sur k isomorphe à ${\displaystyle {\rm {Proj}}B}$ pour une k-algèbre homogène B.
• Une variété quasi-projective est une sous-variété ouverte d'une variété projective. Toute variété affine se plonge comme sous-variété ouverte dans une variété projective. Ainsi toute variété quasi-affine est quasi-projective.

• La variété projective ${\displaystyle {\rm {Proj}}k[T_{0},\ldots ,T_{n}]}$ s'appelle l'espace projectif de dimension n sur k. On note cette variété ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ou ${\displaystyle \mathbb {P} _{n}}$. Elle est réunion des ${\displaystyle n+1}$ ouverts ${\displaystyle D_{+}(T_{i})}$ qui sont isomorphes à l'espace affine Spm ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$. Ses points sur k sont exactement les points de l'espace projectif de dimension n sur k. Sa dimension de Krull est n.
• Si f est un polynôme homogène à ${\displaystyle n+1}$ variables et non nul. Alors ${\displaystyle {\rm {Proj}}(k[T_{0},\ldots ,T_{n}]/(f))}$ est une hypersurface de ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$, donc de dimension ${\displaystyle n-1}$. Pour ${\displaystyle n=2}$, on obtient alors une courbe plane projective. C'est notamment le cas des courbes de Fermat (avec ${\displaystyle f=T_{0}^{p}+T_{1}^{p}+T_{2}^{p}}$ et ${\displaystyle p>2}$) et des courbes elliptiques.

• Si B est une algèbre homogène, quotient de ${\displaystyle k[T_{0},\ldots ,T_{n}]}$, alors ${\displaystyle {\rm {Proj}}B}$ est une sous-variété fermée de l'espace projectif ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$. Inversement, on montre que toute sous-variété fermée d'un espace projectif (ou d'une variété projective) est une variété projective.
• Le produit de deux variétés projectives est une variété projective. Cela résulte du plongement de Segre qui identifie le produit ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}\times _{k}\mathbb {P} _{k}^{m}}$ à une sous-variété fermée de ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{nm+n+m}}$.
• Toute variété projective est séparée, et propre (en) sur k.
• Tout morphisme d'une variété projective dans une variété algébrique séparée est une application fermée.
• Si k = ℝ ou ℂ, la variété topologique ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ est compacte. Pour toute variété projective X sur k, l'ensemble ${\displaystyle X(k)}$ des k-points de X est alors une partie fermée (pour la topologie de la variété topologique) ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$. En particulier, ${\displaystyle X(k)}$ est compact pour la topologie induite.
• Pour l'espace projectif ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$, on montre aisément que l'algèbre O(${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$) des fonctions régulières sur ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ est égale à k (c.-à-d. les seules fonctions régulières globales sont les fonctions constantes). Pour une variété projective X en général, la k-algèbre ${\displaystyle O_{X}(X)}$ est de dimension vectorielle finie. C'est un cas particulier du théorème de Serre sur la cohomologie des faisceaux cohérents. Les variétés projectives sont ainsi à rapprocher des espaces analytiques (complexes) compacts.
• Il en résulte qu'une variété projective qui est aussi affine est nécessairement constituée d'un nombre fini de points (c.-à-d. de dimension 0).

Intersection complète (en)