Plongement de Segre

On fixe un corps ${\displaystyle k}$ et deux entiers naturels ${\displaystyle n,m>0}$ et on considère le produit fibré ${\displaystyle P=\mathbb {P} _{k}^{n}\times _{k}\mathbb {P} _{k}^{m}}$ des espaces projectifs de dimensions respectives ${\displaystyle n,m}$. Alors il existe un morphisme de variétés algébriques

${\displaystyle f:P\to \mathbb {P} _{k}^{nm+n+m}}$

qui est une immersion fermée (i.e. ${\displaystyle f}$ induit un isomorphe sur son image qui est une sous-variété fermée de ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{nm+n+m}}$). De plus, au niveau des points rationnels, on a

${\displaystyle f((x_{0}:\ldots :x_{n}),(y_{0}:\ldots :y_{m}))=(x_{0}y_{0}:x_{0}y_{1}:\ldots :x_{0}y_{m}:x_{1}y_{0}:\ldots :x_{n}y_{m}).}$

Cette immersion est appelée le plongement de Segre.

De façon formelle, ce morphisme peut être construit localement sur un recouvrement affine. En effet ${\displaystyle P}$ est la réunion des ${\displaystyle D_{+}(X_{i})\times _{k}D_{+}(Y_{j})}$, et ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{nm+n+m}={\rm {Proj}}k[T_{ij}]_{0\leq i\leq n,0\leq j\leq m}}$ est recouvert par les ouverts affines ${\displaystyle D_{+}(T_{ij})}$. Sur ${\displaystyle D_{+}(X_{i})\times _{k}D_{+}(Y_{j})}$, le morphisme ${\displaystyle f}$ est le morphisme de variétés affines

${\displaystyle D_{+}(X_{i})\times _{k}D_{+}(Y_{j})\to D_{+}(T_{ij})}$

correspondant au morphisme surjectif de ${\displaystyle k}$-algèbres

${\displaystyle k[T_{kl}/T_{ij}]_{k,l}\to k[X_{k}/X_{i},Y_{l}/Y_{j}]_{k,l},\quad T_{kl}/T_{ij}\mapsto (X_{k}/X_{i})(Y_{l}/Y_{j}).}$

Exemple

Si ${\displaystyle n=m=1}$, alors ${\displaystyle f}$ identifie le produit ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}\times _{k}\mathbb {P} _{k}^{1}}$ des droites projectives à son image dans ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{3}}$, laquelle est la quadrique d'équation

${\displaystyle t_{0}t_{3}-t_{1}t_{2}=0.}$

Soient ${\displaystyle X,Y}$ des variétés projectives sur ${\displaystyle k}$. Par définition, elles sont isomorphes respectivement à des sous-variétés fermées de ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ et ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{m}}$. Alors le produit fibré ${\displaystyle X\times _{k}Y}$ est isomorphe à une sous-variété fermée de ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}\times _{k}\mathbb {P} _{k}^{m}}$. Comme celle-ci est une variété projective par le plongement de Segre, on en déduit que ${\displaystyle X\times _{k}Y}$ est aussi une variété projective.