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Plongement de Segre

En géométrie algébrique, le plongement de Segre est un morphisme qui identifie le produit fibré de deux espaces projectifs à une variété projective. Une conséquence en est que le produit fibré de deux variétés projectives est une variété projective.

Le cas des espaces projectifs

On fixe un corps et deux entiers naturels et on considère le produit fibré des espaces projectifs de dimensions respectives . Alors il existe un morphisme de variétés algébriques

qui est une immersion fermée (i.e. induit un isomorphe sur son image qui est une sous-variété fermée de ). De plus, au niveau des points rationnels, on a

Cette immersion est appelée le plongement de Segre.

De façon formelle, ce morphisme peut être construit localement sur un recouvrement affine. En effet est la réunion des , et est recouvert par les ouverts affines . Sur , le morphisme est le morphisme de variétés affines

correspondant au morphisme surjectif de -algèbres

Exemple

Si , alors identifie le produit des droites projectives à son image dans , laquelle est la quadrique d'équation

Cas général

Soient des variétés projectives sur . Par définition, elles sont isomorphes respectivement à des sous-variétés fermées de et . Alors le produit fibré est isomorphe à une sous-variété fermée de . Comme celle-ci est une variété projective par le plongement de Segre, on en déduit que est aussi une variété projective.

Notes et références

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