Variété topologique

Soit V un espace topologique séparé à base dénombrable. On dit que V est une variété topologique de dimension n si tout point de V possède un voisinage homéomorphe à (un ouvert de) ℝⁿ, ou encore : si V est recouvert par des ouverts homéomorphes à ℝⁿ.

L'utilisation des variétés comme espaces de configuration pour la physique rend la clause de séparation naturelle : il est possible de discerner deux états distincts du système, même si on applique une petite perturbation à chacun.

Un exemple d'espace localement homéomorphe à la droite réelle, mais qui ne vérifie pas la condition de séparation de Hausdorff, est donné en formant une « droite réelle avec un point double ». Pour cela, on identifie deux droites réelles, sauf en un point : les ensembles ℝ × {a} et ℝ × {b} sont soumis à la relation d'identification

${\displaystyle (x,a)\sim (x,b)\quad {\text{quand}}\quad x\neq 0.}$

Dans l'espace quotient, tout voisinage de 0_a intersecte tout voisinage de 0_b.

Une variété topologique (séparée) est toujours :

• localement contractile (donc localement connexe par arcs, localement simplement connexe, etc.) ;
• localement compacte (donc complètement régulière) et
• localement métrisable (donc à bases dénombrables de voisinages).

Par conséquent :

• elle est métrisable si et seulement si elle est paracompacte ;
• elle est σ-compacte si et seulement si elle est de Lindelöf, et elle est alors même paracompacte (puisqu'elle est aussi régulière) donc métrisable, donc à base dénombrable (comme tout espace de Lindelöf métrisable) ;
• pour une variété connexe, toutes ces propriétés sont équivalentes entre elles[1] (et équivalentes à beaucoup d'autres[2]).

D'après le théorème de l'invariance du domaine, l'entier naturel n tel que V est localement homéomorphe à un ouvert de ℝⁿ est unique.

Certains auteurs généralisent la définition de variété topologique en permettant que la dimension puisse varier d'un point à l'autre, et alors une variété topologique telle que définie plus haut est dite pure. Si la variété topologique est connexe, alors elle est nécessairement pure.

• Variété différentielle
• Variété non séparée (en)