Espace de Lindelöf

• Un espace est quasi-compact si et seulement s'il est de Lindelöf et dénombrablement compact.
• Tout espace pseudométrisable de Lindelöf est séparable (cf. Propriétés des espaces séparables) donc à base dénombrable (cf. Lien entre ces deux notions).
• Pour qu'un espace X soit de Lindelöf, il suffit que tout recouvrement de X par des ouverts d'une base fixée possède un sous-recouvrement dénombrable (la démonstration est la même que l'analogue pour les quasicompacts, en remplaçant « fini » par « dénombrable »). Cela rend immédiat le résultat suivant :
• Lemme de Lindelöf — Tout espace à base dénombrable est de Lindelöf[1].
• La réciproque est fausse en général. Par exemple, la droite de Sorgenfrey S est de Lindelöf (et de plus, séparable et à bases dénombrables de voisinages) mais n'est pas à base dénombrable.
• Cependant, d'après ce qui précède, pour un espace pseudométrisable, les trois propriétés Lindelöf/séparable/à base dénombrable sont équivalentes.
• Tout fermé d'un espace de Lindelöf est de Lindelöf[2] (la démonstration est analogue à celle de la compacité de tout fermé d'un compact).
• Toute image continue d'un espace de Lindelöf est de Lindelöf[2].
• Tout espace réunion dénombrable de sous-espaces de Lindelöf (en particulier tout espace dénombrable) est de Lindelöf[2].

• En général, on n'a aucune implication (dans un sens ou dans l'autre) entre la propriété de Lindelöf et les autres propriétés de compacité. Cependant :
  • tout espace σ-compact est clairement de Lindelöf (cas particulier de la propriété précédente) ;
  • d'après un théorème de Morita[3], tout espace régulier de Lindelöf est paracompact (et a fortiori, normal[4] donc complètement régulier) ; dans le cas non séparé, on montre directement[5] que tout espace de Lindelöf T₃ est T₄ donc uniformisable.
• Tout espace de Lindelöf est un espace de Hewitt-Nachbin (en) (ou, ce qui est équivalent : un fermé d'une puissance — éventuellement infinie — de ℝ).

Si ω₁ désigne le premier ordinal non dénombrable, l'ouvert [0, ω₁[ du compact [0, ω₁] n'est pas de Lindelöf.

Un espace est dit fortement de Lindelöf si tous ses ouverts sont de Lindelöf.

• Tout espace fortement de Lindelöf est héréditairement de Lindelöf, c'est-à-dire que tous ses sous-espaces sont de Lindelöf. (Il suffit, pour le vérifier, d'écrire que tout recouvrement ouvert d'une partie Y de X est de la forme (Y ⋂O_i) où les O_i sont des ouverts de X et que leur réunion O est alors un ouvert contenant Y et recouvert par les O_i.)
• Tout espace à base dénombrable est fortement Lindelöf (puisque ses sous-espaces sont à base dénombrable).
• Tout espace souslinien est fortement de Lindelöf.
• La propriété d'être fortement de Lindelöf est préservée par réunions dénombrables, sous-espaces et images continues.
• Toute mesure de Radon sur un espace fortement Lindelöf est modérée, c'est-à-dire que sa mesure extérieurement régulière associée est σ-finie.

Un produit d'espaces de Lindelöf n'est pas toujours de Lindelöf. Le contre-exemple classique est le plan de Sorgenfrey S×S, produit de la droite de Sorgenfrey S par elle-même. Dans le plan S×S, l'antidiagonale D (la droite d'équation y = – x) est un sous-espace discret donc n'est pas de Lindelöf (puisque D n'est pas dénombrable). Or D est un fermé de S×S, qui n'est par conséquent pas de Lindelöf non plus.

Cependant, le produit d'un espace de Lindelöf par un espace quasi-compact est de Lindelöf[6].

Un espace est dit κ-compact (ou κ-Lindelöf), pour un cardinal κ donné, si tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement de cardinalité strictement inférieure à κ. Les espaces quasi-compacts sont donc les ℵ₀-compacts et les espaces de Lindelöf sont les ℵ₁-compacts.

À tout espace X on associe son degré de Lindelöf, ou nombre de Lindelöf, noté L(X) et son degré héréditaire de Lindelof, noté hL(X)[7] :

Avec cette notation, X est de Lindelöf si et seulement si L(X) = ℵ₀, mais la donnée de L(X) ne suffit pas à distinguer si X est quasi-compact ou seulement de Lindelöf. C'est pourquoi, bien que moins couramment, certains auteurs donnent le nom de nombre de Lindelöf[8] de X (ou parfois degré de compacité) à une notion différente : le plus petit cardinal infini κ tel que X soit κ-compact.

Le cardinal d'un espace séparé X est borné[9] en fonction de son degré de Lindelöf L(X) et de son caractère χ(X)[7] : |X| ≤ 2^L(X)χ(X). Par exemple, tout espace de Lindelöf séparé (en particulier tout espace compact) à bases dénombrables de voisinages a au plus la puissance du continu.

Il est aussi borné en fonction de son degré héréditaire de Lindelöf[7] : |X| ≤ 2^hL(X).

• (en) Michael Gemignani, Elementary Topology, 1972, 270 p. (ISBN 978-0-486-66522-1, lire en ligne), chap. 7.2
• (en) István Juhász (hu), Cardinal Functions in Topology – Ten Years Later, Amsterdam, Math. Centre Tracts, 1980, 160 p. (ISBN 978-90-6196-196-3, lire en ligne)
• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lindelöf space » (voir la liste des auteurs).