Nombre cardinal

Une première théorie de la cardinalité peut se construire comme une théorie de la relation d'équipotence, sans définir ce qu'est vraiment un nombre cardinal en toute généralité.

La relation d'équipotence étant réflexive, symétrique et transitive sur la classe des ensembles, chaque classe d'équivalence est appelée nombre cardinal ou simplement cardinal.

Cette définition, qui paraît très naturelle, se présente parfois dans les exposés élémentaires de la théorie des ensembles. Cependant, son usage pose certains problèmes dans les théories usuelles : ainsi la classe des ensembles à un seul élément, qui serait le nombre un, n'est pas un ensemble et n'est élément d'aucune classe, de même pour la classe des ensembles à quatre éléments, etc., d'où l'impossibilité de même parler d'intervalles de nombres entiers naturels. Ces difficultés s'apparentent au paradoxe de Russell, qui fut d'ailleurs découvert quand ce dernier adressa une lettre critique à Frege[2].

On pourrait, pour contourner ces difficultés, choisir de caractériser un représentant dans chaque classe d'ensembles équipotents entre eux. Ceci peut se faire très simplement dans le cas fini comme suit :

• L'ensemble vide et les ensembles d'entiers de la forme {1, 2, … , n} forment des ensembles de cardinaux deux à deux différents ;
• Avec la définition des « entiers de von Neumann », qui est le cas particulier restreint au fini de la définition des ordinaux, l'entier naturel n, vu comme un ordinal fini, est l'ensemble de ses prédécesseurs :

  n = {0, 1, 2, … , n – 1}, en particulier 0 = ∅, l’ensemble vide étant le seul ensemble à n'être équipotent qu'à lui-même ;

• On note card(∅) = 0 et card({1, 2, … , n}) = n.

Cependant, l’extension de cette méthode aux ensembles infinis requiert des outils supplémentaires :

• La relation « il existe une injection de l'ensemble X dans l'ensemble Y » est un préordre partiel sur les ensembles ;
• Si deux ensembles A et B sont équipotents, il existe évidemment une injection de chacun des deux dans l'autre ;
• Le théorème de Cantor-Bernstein permet de montrer la réciproque : deux ensembles sont équipotents dès qu'il existe une injection de chacun d'eux dans l'autre. Ainsi, l'équipotence est la relation d'équivalence associée au préordre, et on a une relation d'ordre (partiel) sur les classes d'équipotence ;
• L'affirmation que cet ordre est total équivaut à l'axiome du choix : c'est le théorème de comparabilité cardinale (dû à Friedrich Hartogs[3]). Sans cet axiome, étant donnés deux ensembles E et F, il n’existe pas nécessairement d’injection de E dans F ni de F dans E ;

• On voit donc que la définition du cardinal est dépendante de l’axiome du choix. L’axiome du choix équivaut à l’existence d’un bon ordre sur tout ensemble ;
• Dans la théorie des ensembles ZF (de Zermelo-Fraenkel) et ses extensions, on définit une classe de représentants de tous les bons ordres : les nombres ordinaux, généralisation des nombres entiers dont la représentation en théorie des ensembles est due à von Neumann. Il s'agit d'une classe propre, elle-même bien ordonnée donc en particulier totalement ordonnée.

Dans ZFC (théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix) un nombre cardinal est alors défini comme un nombre ordinal (de von Neumann) qui n'est équipotent à aucun ordinal qui lui soit strictement inférieur. Le cardinal d'un ensemble est le plus petit ordinal auquel cet ensemble est équipotent.

Tous les entiers naturels, identifiés à des ordinaux finis, sont des cardinaux en ce sens. Les cardinaux infinis sont représentés au moyen de la lettre hébraïque aleph : ℵ. Le plus petit cardinal infini est ℵ₀. C'est le cardinal de l'ensemble N des entiers naturels, qui est également désigné en tant que nombre ordinal par ω. Le cardinal immédiatement supérieur est ℵ₁, etc. D'une manière générale — dans ZFC — un cardinal infini quelconque peut toujours[4] s'écrire ℵ_α, où α est un ordinal. Néanmoins la classe des alephs peut être définie plus généralement dans ZF et, en l'absence de l'axiome du choix, ces cardinaux sont ceux des ensembles bien ordonnables (l'axiome du choix équivaut, dans ZF, à « tout cardinal infini est de la forme ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ »)[5].

• On appelle ensemble dénombrable tout ensemble équipotent à l'ensemble des entiers naturels. Par exemple, l'ensemble des rationnels est dénombrable.

card(ℚ) = ℵ₀ := card(ℕ).

• Le cardinal de l'ensemble des nombres réels est le même que celui de l'ensemble des parties de ℕ :

${\displaystyle \mathrm {card} (\mathbb {R} )=\mathrm {card} ({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))>\aleph _{0}}$ (théorème de Cantor).

Ce cardinal se note également ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, dit cardinal du continu.

• On dit qu'un ensemble a la puissance du continu si son cardinal est ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ (« puissance » était utilisé dans le sens de « cardinal », et a donné également équipotent).
• De même que ℕ^k est équipotent à ℕ, pour tout entier k > 0, ℝ^k est équipotent à ℝ , c'est-à-dire de cardinal ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$. L'ensemble ℝ^ℕ des suites réelles est également équipotent à ℝ.
• L'ensemble des fonctions continues de ℝ dans ℝ est donc aussi de cardinal ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, car cet ensemble a au plus la puissance de ℝ^ℚ (et au moins celle du continu).
• ${\displaystyle \mathrm {card} ({\mathcal {P}}(\mathbb {R} )^{\mathbb {R} })=\mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=\mathrm {card} (\mathbb {N} ^{\mathbb {R} })=\mathrm {card} ({\mathcal {P}}(\mathbb {R} ))>{\mathfrak {c}}}$ (B^A désigne l'ensemble des applications de A dans B).

• S'il existe une surjection de A dans B, alors card(B) ≤ card(A).
• Il n'existe pas de surjection d'un ensemble E sur l'ensemble de ses parties ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$. Un ensemble n'est donc jamais équipotent à l'ensemble de ses parties, bien qu'il s'injecte dedans par l'ensemble des singletons de ses éléments, ce qui permet d'écrire :${\displaystyle \mathrm {card} (E)<\mathrm {card} ({\mathcal {P}}(E)).}$C'est le théorème de Cantor ; le point de départ de la théorie de la cardinalité pour les ensembles infinis fut un article de 1874 de Georg Cantor qui montrait que le continu, l'ensemble des réels, ne pouvait être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels, et que donc il existait des infinis différents du point de vue de la cardinalité.
• Si A est infini alors card(A×A) = card(A). Cet énoncé, qui équivaut à l'axiome du choix, a de nombreux corollaires. Par exemple, si ${\displaystyle A}$ est infini :
  • si ${\displaystyle 0<\mathrm {card} (B)\leq \mathrm {card} (A)}$, alors ${\displaystyle \mathrm {card} (A\times B)=\mathrm {card} (A)}$ — en particulier, card(A⊔A) = card(A), donc
  • si ${\displaystyle \mathrm {card} (B)\leq \mathrm {card} (A)}$, alors ${\displaystyle \mathrm {card} (A\cup B)=\mathrm {card} (A)}$ ;
    • en particulier, si ${\displaystyle B}$ est inclus dans ${\displaystyle C}$ infini avec ${\displaystyle \mathrm {card} (B)<\mathrm {card} (C)}$, alors ${\displaystyle \mathrm {card} (C)=\mathrm {card} (C\setminus B)}$ ;
  • si ${\displaystyle 2\leq \mathrm {card} (B)\leq \mathrm {card} ({\mathcal {P}}(A))}$, alors[6] ${\displaystyle \ \mathrm {card} (B^{A})=\mathrm {card} ({\mathcal {P}}(A))}$.
  • l'ensemble Fin(A) des parties finies de A et l'ensemble A^<ω des suites finies d'éléments de A ont même cardinal que A.En effet, card(A) ≤ card(Fin(A)) ≤ card(A^<ω) = ∑_n∈ℕ card(Aⁿ) = ∑_n∈ℕ card(A) = card(ℕ×A) ≤ card(A×A) = card(A) ;

L'accessibilité est la possibilité d'atteindre un ordinal ou un cardinal donné à partir des ordinaux plus petits.

Un ordinal β est dit cofinal dans un ordinal α s'il existe une application strictement croissante f de β dans α tel que α soit la limite de f au sens suivant :

${\displaystyle \forall \gamma \in \alpha ,\exists \delta \in \beta ,\gamma \leq f(\delta ).}$

Par exemple, aucun ordinal strictement plus petit que ℵ₀ n'est cofinal dans ℵ₀, puisqu'un ordinal strictement inférieur à ℵ₀ est un entier n = {0, 1, 2, … , n – 1} et qu'une application strictement croissante définie sur {0, 1, 2, … , n – 1} est bornée. Le cardinal ℵ₀ est dit alors régulier, c'est le cas de tous les cardinaux successeurs.

Par contre, ω est cofinal dans le cardinal ℵ_ω au moyen de l'application ${\displaystyle f:n\in \omega \mapsto \aleph _{n}}$.

Ce cardinal ℵ_ω est dit alors singulier.

En notant cf(α) le plus petit ordinal cofinal dans α, on obtient cf(ω) = cf(ℵ_ω) = ω.

Les cardinaux se classent alors comme suit :

• ceux de la forme ℵ_α+1, indexés par un ordinal α + 1 successeur d'un ordinal α ;
• ceux de la forme ℵ_α, indexés par un ordinal α limite et qui sont singuliers ;
• ceux de la forme ℵ_α, indexés par un ordinal α limite et qui sont réguliers.

Ce dernier type de cardinal est qualifié de faiblement inaccessibles car ils ne peuvent être construits à partir de cardinaux plus petits. On distingue parmi eux les cardinaux fortement inaccessibles qui vérifient de plus ${\displaystyle \mathrm {card} (x)<\aleph _{\alpha }\Rightarrow 2^{\mathrm {card} (x)}<\aleph _{\alpha }}$. L'existence de tels cardinaux ne peut se déduire des axiomes de la théorie des ensembles ZFC ; ces cardinaux, et d'autres satisfaisant la même condition, sont qualifiés pour cette raison de grands cardinaux.

Les deux premiers types de cardinaux sont qualifiés au contraire d'accessibles, car on peut les construire (dans ZFC) à partir de cardinaux plus petits qu'eux.

• Fonction cardinale
• Beth (nombre)

: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• Patrick Dehornoy, Logique et théorie des ensembles, Notes de cours, FIMFA ENS, 2006-2007, chapitre 5 : Les cardinaux
• (en) Thomas Jech, Set Theory : The Third Millennium Edition, Springer, coll. « Springer Monographs in Mathematics », 2003 (1^re éd. 1978), 772 p. (ISBN 978-3-540-44085-7, lire en ligne)
• (en) Akihiro Kanamori, The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings, Springer-Verlag, Berlin, 1994, xxiv+536 p. Seconde édition, Springer, coll. Monographs in Mathematics, 2008 (ISBN 978-3540003847)
• (en) Leonard Gillman, « Two Classical Surprises Concerning the Axiom of Choice and the Continuum Hypothesis », The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, vol. 109,‎ juin-juillet 2002, p. 544-553 (lire en ligne). 
• (en) Thomas Jech, The Axiom of Choice, North-Holland, 1973 (ISBN 0720422752).