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Fonction cardinale

En mathématiques, une fonction cardinale (ou un invariant cardinal) est une fonction à valeurs dans les nombres cardinaux.

Fonctions cardinales en théorie des ensembles

  • La fonction cardinale la plus utilisĂ©e est celle qui Ă  tout ensemble A associe sa cardinalitĂ©, notĂ©e |A|.
  • Les alephs et les beths peuvent ĂȘtre vues comme des fonctions cardinales dĂ©finies sur les ordinaux.
  • Les opĂ©rations arithmĂ©tiques sur les cardinaux sont des exemples de fonctions des cardinaux (ou des couples de cardinaux) dans les cardinaux.
  • Les caractĂ©ristiques cardinales d'un idĂ©al propre (en) I de parties de X (c'est-Ă -dire un ensemble non vide de parties propres de X, stable par sous-ensembles et par rĂ©unions finies) sont, en supposant que I recouvre X :
    • son additivitĂ© add(I), qui est le plus petit nombre d'Ă©lĂ©ments de I dont la rĂ©union n'est pas Ă©lĂ©ment de I :
      Ce cardinal est infini :
      Il est mĂȘme supĂ©rieur ou Ă©gal Ă  â„”1 si I est stable non seulement par rĂ©unions finies mais par rĂ©unions dĂ©nombrables ;
    • son nombre de recouvrement cov(I), qui est le plus petit nombre d'Ă©lĂ©ments de I dont la rĂ©union est X tout entier :
      Ce cardinal est supérieur ou égal au précédent :
    • son uniformitĂ© non(I) – parfois notĂ©e aussi unif(I) – qui est la plus petite taille d'une partie de X n'appartenant pas Ă  I :
      Ce cardinal est, lui aussi, supérieur ou égal à l'additivité[1] :
    • sa cofinalitĂ© cof(I), qui est la cofinalitĂ© de l'ordre partiel (I, ⊂), c'est-Ă -dire le plus petit cardinal d'une partie cofinale de cet ordre :
      Elle majore les deux cardinaux précédents[1] :
Dans le cas oĂč I est un idĂ©al liĂ© Ă  la structure des rĂ©els, comme l'idĂ©al des parties Lebesgue-nĂ©gligeables ou celui des parties maigres, ces invariants cardinaux font partie des caractĂ©ristiques cardinales du continu (en).
  • Pour un ensemble prĂ©ordonnĂ© (E, ≀), la dĂ©finition de la cofinalitĂ© se gĂ©nĂ©ralise en celle du (en) dominating number 𝖉(E) :
    et l'on dĂ©finit aussi le (en) bounding number 𝖇(E) :
  • En thĂ©orie des cofinalitĂ©s possibles (en), on utilise la fonction cardinale ppÎș(λ)[2].

Fonctions cardinales en topologie

Les fonctions cardinales sont trÚs utilisées en topologie générale, comme outils pour décrire diverses propriétés topologiques[3] - [4] - [5]. En voici quelques exemples[6].

  • Les deux invariants cardinaux les plus simples d'un espace topologique X sont sa cardinalitĂ© |X| et celle de sa topologie, o(X) = |TX|.
  • Son poids w(X) est la plus petite cardinalitĂ© d'une base de TX. L'espace est dit Ă  base dĂ©nombrable lorsque w(X) ≀ â„”0.
  • Son caractĂšre χ(X) est le plus petit cardinal Îș tel que tout point possĂšde une base de voisinages de cardinal infĂ©rieur ou Ă©gal Ă  Îș. L'espace est dit Ă  bases dĂ©nombrables de voisinages lorsque χ(X) ≀ â„”0.
    • Son π-poids πw(X) est le plus petit cardinal d'une π-base, c'est-Ă -dire d'une famille d'ouverts non vides telle que tout ouvert non vide de X contient un ouvert de cette famille.
  • Sa densitĂ© d(X) est la plus petite cardinalitĂ© d'une partie dense. L'espace est dit sĂ©parable lorsque d(X) ≀ â„”0.
  • Son nombre de Lindelöf L(X) est le plus petit cardinal Îș tel que tout recouvrement ouvert de X possĂšde un sous-recouvrement de cardinal infĂ©rieur ou Ă©gal Ă  Îș. L'espace est dit de Lindelöf lorsque L(X) ≀ â„”0.
  • Sa cellularitĂ© (ou son nombre de Suslin (en)[5]) c(X) est le plus petit cardinal Îș tel que toute famille d'ouverts non vides deux Ă  deux disjoints est de cardinal infĂ©rieur ou Ă©gal Ă  Îș.
    • Sa cellularitĂ© hĂ©rĂ©ditaire ou son Ă©talement[7] (en anglais : spread) s(X) est la borne supĂ©rieure des cellularitĂ©s de ses sous-espaces :
      le sous-espace Z est discret
  • Son Ă©troitesse[7] (en anglais : tightness) t(X) est le plus petit cardinal Îș tel que tout point adhĂ©rent Ă  une partie A de X est adhĂ©rent Ă  un sous-ensemble de A de cardinal infĂ©rieur ou Ă©gal Ă  Îș. L'espace est dit dĂ©nombrablement engendrĂ©, ou dĂ©nombrablement Ă©troit, lorsque t(X) ≀ â„”0.
    • Son Ă©troitesse augmentĂ©e t+(X) est le plus petit cardinal rĂ©gulier Îș tel que tout point adhĂ©rent Ă  une partie A de X est adhĂ©rent Ă  un sous-ensemble de A de cardinal infĂ©rieur Ă  Îș.

Diverses inégalités relient ces fonctions. Par exemple[5] :

c(X) ≀ d(X) ≀ w(X) ≀ o(X) ≀ 2|X|,
χ(X) ≀ w(X) et L(X) ≀ w(X).
Si X est sĂ©parĂ©, |X| ≀ 2c(X)χ(X) et |X| ≀ 2L(X)χ(X).

Beaucoup de fonctions cardinales d'un espace topologique correspondent par dualité aux fonctions cardinales de son algÚbre de fonctions continues[5] ou d'une algÚbre de Boole[7].

Fonctions cardinales d'une algĂšbre de Boole

Les fonctions cardinales sont souvent utilisées dans l'étude des algÚbres de Boole[8] - [9].

On peut mentionner par exemple les fonctions suivantes d'une algĂšbre de Boole B :

  • sa cellularitĂ© c(B), qui est la borne supĂ©rieure des cardinaux d'antichaĂźnes de B ;
  • sa longueur length(B), qui est la borne supĂ©rieure des cardinaux de ses chaĂźnes ;
  • sa profondeur depth(B), qui est la borne supĂ©rieure des cardinaux de ses parties bien ordonnĂ©es ;
  • son incomparabilitĂ© inc(B), qui est la borne supĂ©rieure des cardinaux de familles d'Ă©lĂ©ments deux Ă  deux incomparables ;
  • son pseudo-poids π(B), qui est le plus petit cardinal d'une famille d'Ă©lĂ©ments non nuls de l'algĂšbre de Boole B telle que tout Ă©lĂ©ment non nul de B est minorĂ© par un Ă©lĂ©ment de cette famille.

Fonctions cardinales en algĂšbre

Des exemples de fonctions cardinales que l'on considĂšre en algĂšbre sont :

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de l’article de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Cardinal function » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) D. H. Fremlin, Measure Theory, vol. 4, Torres Fremlin, , 945 p. (ISBN 978-0-9538129-4-3, lire en ligne), p. 18.
  2. (en) Michael Holz, Karsten Steffens et Edmund Weitz, Introduction to Cardinal Arithmetic, BirkhÀuser, , 304 p. (ISBN 978-3-7643-6124-2, lire en ligne).
  3. (en) IstvĂĄn JuhĂĄsz (hu), Cardinal functions in topology, Amsterdam, Math. Centre Tracts, , 160 p. (ISBN 978-90-6196-062-1, lire en ligne).
  4. (en) István Juhász, Cardinal Functions in Topology – Ten Years Later, Amsterdam, Math. Centre Tracts, , 160 p. (ISBN 978-90-6196-196-3, lire en ligne).
  5. (en) « Cardinal characteristic », dans Michiel Hazewinkel, EncyclopÊdia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
  6. Certains auteurs, comme (en) Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann (de), , 529 p. (ISBN 978-3-88538-006-1), pour qui « il n'y a pas de cardinaux finis en topologie », prĂ©fĂšrent dĂ©finir ces fonctions cardinales de telle façon qu'elles ne prennent que des valeurs infinies, ce qui revient Ă  modifier les dĂ©finitions donnĂ©es ici, par exemple en ajoutant â„”0 dans le membre de droite.
  7. Résumé en français de (en) J. Donald Monk, « Cardinal functions on boolean algebras », dans Maurice Pouzet et Denis Richard, Orders: Description and Roles, , p. 9-37.
  8. (en) J. Donald Monk, Cardinal Functions on Boolean Algebras, BirkhĂ€user, coll. « Lectures in Mathematics ETH ZĂŒrich », , 153 p. (ISBN 978-3-7643-2495-7).
  9. (en) J. Donald Monk, Cardinal Invariants on Boolean Algebras, BirkhÀuser, coll. « Progress in Mathematics » (no 142), , 298 p. (ISBN 978-3-7643-5402-2, lire en ligne).

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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