Espace dénombrablement engendré

Un espace topologique X est dit dénombrablement engendré, ou dénombrablement étroit, si tout point adhérent à une partie A de X est adhérent à un sous-ensemble dénombrable de A.

• X est dénombrablement étroit si et seulement si l'adhérence de toute partie A de X est réduite à la réunion des adhérences des parties dénombrables de A.
• X est dénombrablement étroit si et seulement si[1], pour qu'une partie F de X soit fermée, il suffit que pour tout sous-espace dénombrable D de X, l'ensemble F ∩ D soit fermé dans D.
• L'étroitesse dénombrable est préservée par quotients et par sommes. Dans la catégorie des espaces topologiques, la sous-catégorie des espaces dénombrablement engendrés est donc coréflexive (en)[2], c'est-à-dire que le foncteur d'inclusion a un adjoint à gauche. C'est la plus petite sous-catégorie coréflexive contenant tous les espaces dénombrables.
• L'étroitesse dénombrable est aussi préservée par sous-espaces.

Les exemples les plus simples d'espaces dénombrablement étroits sont les espaces à bases dénombrables de voisinages (en particulier les espaces métrisables).

Plus généralement, tout espace séquentiel est dénombrablement étroit[3].

Tout espace de Banach, muni de sa topologie faible, est dénombrablement étroit[4] alors qu'il n'est jamais à bases dénombrables de voisinages[5] (sauf bien sûr s'il de dimension finie) et qu'il n'est parfois (comme ℓ²) même pas séquentiel.

Un autre exemple d'espace qui, bien que non séquentiel, est dénombrablement étroit est l'espace d'Arens-Fort, qui est même dénombrable.

Sous l'hypothèse ♢ (en), il existe même des compacts dénombrablement étroits mais non séquentiels[6]. Cependant, sous l'hypothèse du forcing propre (en), il n'en existe pas[7].