Topologie quotient

Beaucoup d'espaces intéressants, le cercle, les tores, le ruban de Möbius, les espaces projectifs sont définis comme des quotients. La topologie quotient fournit souvent la façon la plus naturelle de munir un ensemble défini « géométriquement » d'une topologie naturelle. Citons par exemple (voir plus bas) l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension p de ℝⁿ.

Citons aussi le cas des surfaces de ℝ³ particulières : les tores à ${\displaystyle p}$ trous. Pour formaliser cette notion, il faut définir l'opération consistant à « ajouter une anse » à une surface. Cela se fait sans trop de difficulté en utilisant la topologie quotient, alors qu'il n'est pas évident du tout de définir de telles surfaces par une équation.

Cette notion illustre aussi l'efficacité de la topologie générale par rapport à la théorie des espaces métriques, souvent utilisée comme introduction à la topologie : bien que la topologie de la plupart des exemples décrits ci-dessous puisse être définie par une métrique, une telle métrique n'est pas toujours facile à construire.

Soit X un espace topologique et ℛ une relation d'équivalence sur X. On notera p l'application naturelle de X dans X/ℛ qui associe à un élément de X sa classe d'équivalence.

La topologie quotient sur X/ℛ est la topologie finale associée à cette application p, c'est-à-dire la plus fine pour laquelle p est continue. Plus explicitement : pour qu'une partie U de X/ℛ soit ouverte, il faut et suffit que p^-1(U) soit ouvert dans X. Comme, d'après la théorie élémentaire des ensembles, l'image réciproque d'une intersection (resp. d'une réunion) est égale à l'intersection (resp. la réunion) des images réciproques, on définit bien ainsi une topologie.

Soit Y un espace topologique quelconque. Alors, pour qu'une application f de X/ℛ dans Y soit continue, (il faut et) il suffit que l'application f∘p de X dans Y le soit.

La définition de la topologie quotient est faite précisément pour que cette propriété soit satisfaite : si V est un ouvert de Y, alors f ^-1(V) est ouvert dans X/ℛ si et seulement si p^-1(f ^-1(V)) est ouvert dans X, or p^-1(f ^-1(V)) = (f∘p)^-1(V).

Premiers exemples

Le quotient du segment [–1, 1] par ses deux extrémités est le cercle S¹.

Le quotient du disque fermé par le cercle S¹ qui le borde est la sphère S².

Si A est une partie de X, notons X/A l'espace obtenu en identifiant tous les points de A, muni de la topologie quotient. La relation d'équivalence ℛ considérée ici est donc celle dont l'une des classes d'équivalence est A et toutes les autres sont des singletons.

• Si X = [–1, 1] et si A = {–1, 1}, X/A muni de la topologie quotient est homéomorphe au cercle S¹.
• Plus généralement, si X est la boule unité euclidienne fermée de dimension n et A sa frontière (qui est la sphère unité S^n–1), X/A est homéomorphe à Sⁿ.
• Si X = ℝ et A = ℤ, X/A est un bouquet d'un ensemble dénombrable de cercles (la notation ℝ/ℤ n'a pas ici le même sens que dans la section « Espaces homogènes »).
• Si X = ℝ et A = ℚ, la topologie quotient sur X/A a comme ouverts non vides les parties p(ℝ-F) avec F fermé de ℝ ne contenant pas de rationnel. L'espace ℝ/ℚ au sens de la section « Espaces homogènes » a la topologie grossière comme topologie quotient.

L'espace X/ℛ est T₁ si et seulement si chaque classe d'équivalence de ℛ est fermée dans X.

Les définitions suivantes vont servir à formuler des conditions pour que X/ℛ soit même séparé.

Le saturé d'une partie A de X est l'ensemble p^-1(p(A)) de tous les points de X qui sont reliés par ℛ à un point de A.

La relation d'équivalence ℛ est dite ouverte si le saturé de tout ouvert de X est ouvert, ou encore si p est une application ouverte. On définit de même la notion de relation d'équivalence fermée.

On remarque que si X/ℛ est séparé alors son graphe est fermé. Cette condition nécessaire devient suffisante moyennant une hypothèse supplémentaire[1] :

Dans le cas où X est compact, on a des équivalences plus satisfaisantes[1] :

Soient X et Y deux espaces topologiques, A une partie non vide de Y et f:A→X une application continue.

Le recollement de Y à X au moyen de f est[1] le quotient de la réunion disjointe X⊔Y par la relation d'équivalence qui identifie chaque élément de A à son image par f. C'est un cas particulier de somme amalgamée.

Lorsque X est réduit à un point, l'espace obtenu est simplement Y/A.

Lorsque c'est A qui est réduit à un point a, le recollement est le bouquet des deux espaces pointés (Y,a) et (X,f(a)).

On peut décrire par recollement l'opération consistant à ajouter une anse à une surface X. On prend Y = S¹×[0,1], A = S¹×{0,1}, et f un homéomorphisme de S¹×{0} sur ∂D₀ et de S¹×{1} sur ∂D₁, pour deux disques fermés disjoints D₀ et D₁ dans X.

Le cercle peut aussi s'obtenir comme quotient de ℝ par la relation ℛ définie par

${\displaystyle x{\mathcal {R}}y\Longleftrightarrow x-y\in \mathbb {Z} .}$

Plus généralement, on dit qu'un groupe topologique G agit continûment sur un espace topologique X si on a une application continue G × X→X, (g,x)↦g.x telle que

${\displaystyle g^{\prime }\cdot (g\cdot x)=(g^{\prime }g)\cdot x\quad {\text{et}}\quad e\cdot x=x.}$

L'espace quotient par la relation d'équivalence

${\displaystyle x{\mathcal {R}}y\Longleftrightarrow \exists g\in G,x=g\cdot y}$

est noté X/G, et appelé espace des orbites de l'action.

La relation d'équivalence associée à une action continue est toujours ouverte, puisque le saturé p^-1(p(U)) = G.U d'un ouvert U est ouvert, comme réunion d'ouverts.

Dans le cas d'une action (continue) propre (en), c'est-à-dire si l'application G×X→X×X, (g,x)↦(g.x,x) est une application propre, l'espace X/G des orbites est séparé[2] puisqu'en plus d'être ouverte, ℛ a alors un graphe fermé.

Lorsque G est séparé et X localement compact, l'hypothèse de propreté de l'action équivaut à : l'image réciproque de tout compact de X×X est un compact de G×X, ou encore : pour tout compact K de X, l'ensemble (fermé) des éléments g de G tels que (g.K)⋂K≠∅ est compact. Si G est un groupe discret, cela revient à dire que cet ensemble est fini.

Si X est (localement) compact et si X/G est séparé, alors X/G est (localement) compact[3].

Exemples d'actions de groupes discrets

• Pour l'action de ℤ sur ℝ×[-1,1] donnée par${\displaystyle n\cdot (x,y)=(x+n,y),}$l'espace quotient est un cylindre.
  Pour l'action donnée par${\displaystyle n\cdot (x,y)=(x+n,(-1)^{n}y),}$l'espace quotient est un ruban de Möbius.
• Pour l'action de ℤ² sur ℝ² donnée par${\displaystyle (m,n)\cdot (x,y)=(x+m,y+n),}$l'espace quotient est un tore.
• Pour l'action sur la sphère ${\displaystyle S^{n}}$ du groupe à deux éléments ${\displaystyle \{I,\sigma \}}$ définie par ${\displaystyle \sigma .x=-x}$, le quotient est l'espace projectif.
• Sur ℝ², les transformations${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,y+1)\quad {\text{et}}\quad (x,y)\mapsto (x+1,-y)}$engendrent un groupe Γ qui agit proprement (c'est un sous-groupe discret du groupe des isométries affines). Le quotient ℝ²/Γ est la bouteille de Klein.

On appelle ainsi un ensemble muni d'une action transitive d'un groupe.

• Rached Mneimné et Frédéric Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques [détail des éditions]
• Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions], ch. 4