Groupe de Lie

Le plan, c'est-à-dire l'espace euclidien de dimension 2 peut être considéré comme un groupe de Lie. C'est une variété (localement, l'espace ressemble à l'espace euclidien de dimension 2) et un groupe. Comme le montre la figure à droite, l'opération de groupe est l'addition de deux points (que l'on considère alors comme des vecteurs). L'inverse d'un vecteur (x, y) est le vecteur (-x, -y). Ces deux opérations sont différentiables.

Le cercle unité où chaque point est repéré par un angle avec l'axe des abscisses.

Un cercle, par exemple le cercle unité, est un groupe de Lie dans le sens suivant. C'est une variété : localement, le cercle ressemble à une droite, i.e. un espace euclidien de dimension 1. D'autre part, il s'agit d'un groupe. En effet, chaque point est paramétré par un angle t avec l'axe des abscisses. L'opération d'addition de deux points correspond à additionner les angles. L'inverse d'un point d'angle t avec l'axe des abscisses, est le point d'angle -t avec l'axe des abscisses.

Les groupes de Lie sont classables selon leurs propriétés algébriques (abélien, simple (en), semi-simple, résoluble, nilpotent), ou bien topologiques (connexe, simplement connexe, compact).

Ils sont également usuellement classés en quatre types, représentés dans le tableau d'exemples plus bas :

• groupes de Lie réels, basés sur le corps commutatif ℝ ;
• groupes de Lie complexes, basés sur le corps commutatif ℂ ;
• groupes de Lie quaternioniques, basés sur le corps non commutatif des quaternions ℍ ;
• groupes de Lie exceptionnels.

G désigne un groupe de Lie réel ou complexe de dimension n. Pour g un élément de G, l'application ${\displaystyle L_{g}:\left\{{\begin{matrix}G\rightarrow G\\h\mapsto gh\end{matrix}}\right.}$ est un difféomorphisme de la variété réelle ou complexe sous-jacente à G. Un champ de vecteurs X sur G est dit invariant à gauche lorsque pour tout couple d'élément g et h de G, on a : ${\displaystyle (dL_{g})_{h}(X_{h})=X_{gh}}$ (où on note ${\displaystyle X_{a}}$ la valeur du champ de vecteurs X au point a).

Pour toute variété différentielle réelle ou complexe M, l'espace vectoriel réel ou complexe des champs de vecteurs sur M, noté I(M), est muni d'une structure naturelle d'algèbre de Lie réelle ou complexe, dont le crochet est le crochet de champs de vecteurs. La naturalité signifie exactement que tout morphisme f:M → N entre variétés induit un morphisme d'algèbres de Lie f* : I(N) → I(M). En particulier, pour M = N = G, on dispose d'automorphismes (L_g)* de l'algèbre de Lie I(G). L'ensemble des points fixes communs à tous ces automorphismes (L_g)* est une sous-algèbre de Lie de I(G), notée ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Ses éléments sont les champs de vecteurs invariants à gauche sur G.

Soit T_eG l'espace tangent en e à G, e désignant l'élément neutre de G. L'application ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\mathfrak {g}}\to T_{e}G\\X\mapsto X_{e}\end{matrix}}\right.}$ (où X_e est la valeur de X en l'élément neutre) est un isomorphisme linéaire. La structure d'algèbre de Lie de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ se transporte donc, via cet isomorphisme, en une structure d'algèbre de Lie sur l'espace vectoriel T_eG.

Cette structure peut se définir directement. Supposons donnée f une carte locale de G en l'élément neutre e avec f(e)=0, alors, le produit du groupe de Lie lu dans la carte locale f est au second ordre :

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ proches de }}0,\;f(f^{-1}(a)\cdot f^{-1}(b))=a+b+B(a,b)+o(a^{2}+b^{2})}$

où B est une application bilinéaire et antisymétrique. La structure d'algèbre de Lie sur T_eG est donnée par ${\displaystyle [X,Y]=B(X,Y).}$

Dans la première présentation, tout vecteur X de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est par définition un champ de vecteurs invariant à gauche sur G. L'invariance à gauche implique que son flot est globalement défini. L'exponentielle de X est définie comme l'image au temps 1 de l'élément neutre e de G. Plus précisément, il existe une unique fonction c : ℝ → G dont la dérivée est donnée par ${\displaystyle c'(t)=X[c(t)]}$ et telle que c(0) = e.

Elle possède la propriété remarquable suivante : ${\displaystyle c(s+t)=c(s).c(t)\qquad (*)}$ pour tous s et t.

Si l'on note, pour v = X_e, ${\displaystyle e^{v}=c(1)}$, une reparamétrisation incluant la variable t montre que ${\displaystyle c(t)=e^{tv}}$.

On peut alors vérifier ${\displaystyle c'(t)=e^{tv}v.}$

Cette fonction est également appelée fonction exponentielle et relie l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ au groupe de Lie G. Elle définit un difféomorphisme entre un voisinage de 0 dans ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ et un voisinage de e dans G. Toutefois, en général, l'application exponentielle n'est pas surjective, ni injective.

Un sous-groupe à un paramètre de G est une application différentiable c : ℝ → G vérifiant l'identité (*) ci-dessus. À tout sous-groupe à un paramètre c est associé un unique élément X de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ vérifiant : ${\displaystyle c(t)=e^{tv}}$.

Plusieurs groupes de Lie peuvent partager la même algèbre de Lie associée. Cependant, à toute algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ correspond un groupe de Lie simplement connexe G, unique à isomorphisme près. De plus cet isomorphisme est uniquement déterminé par l'isomorphisme d'algèbres de Lie associé. Tout groupe de Lie connexe dont l'algèbre de Lie est isomorphe à ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ se réalise comme quotient de G par un sous-groupe normal discret.

Un groupe de Lie connexe est dit simple, semi-simple, résoluble, nilpotent ou abélien si son algèbre de Lie associée possède la propriété de même nom. En particulier, la classification des algèbres de Lie semi-simples donne une classification des groupes de Lie simplement connexes et semi-simples.

Si G et H sont deux groupes de Lie (tous deux réels ou complexes), alors un morphisme de groupes de Lie f : G → H est un morphisme de groupes qui est également une fonction analytique (il suffit en fait que f soit continue).

La composition de deux morphismes de groupes de Lie est un morphisme de groupes de Lie et la classe de tous les groupes de Lie est une catégorie. Deux groupes de Lie sont dits isomorphes s'il existe entre eux un morphisme bijectif dont la réciproque est également un morphisme.

Théorème de Cartan-von Neumann (en) : tout sous-groupe fermé d'un groupe de Lie possède une unique structure différentielle pour laquelle le morphisme d'inclusion est un plongement[2].

Soient G et H deux groupes de Lie, et f : G → H un morphisme de groupes de Lie. Alors il existe un unique morphisme d'algèbre de Lie : ${\displaystyle \varphi$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}} de l'algèbre de Lie associée à G dans celle associée à H, telle que, pour tout champ de vecteurs X invariant à gauche dans G, on ait, pour tout t :

${\displaystyle f(\exp(tX))=\exp(t\varphi (X))}$

De plus, si f est un isomorphisme, ${\displaystyle \varphi }$ aussi[3]. Vue comme application de T_eG dans T_eH, ${\displaystyle \varphi }$ n'est autre que la différentielle de f calculée en l'élément neutre de G.

Dans le tableau ci-dessous, la notion A* désigne la matrice adjointe d'une matrice A.

Groupe de Lie	Description	Propriétés	Algèbre de Lie	Description	Dimension
ℝn	Espace euclidien muni de l'addition	Abélien ; simplement connexe, non compact	ℝn	Le crochet de Lie est nul	n
ℝ*	Nombres réels non nuls munis de la multiplication	Abélien ; non connexe, non compact	ℝ	Le crochet de Lie est nul	1
ℝ*+	Nombres réels strictement positifs munis de la multiplication	Abélien ; simplement connexe, non compact	ℝ	Le crochet de Lie est nul	1
${\displaystyle S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$	Nombres complexes de module 1 munis de la multiplication	Abélien ; connexe, non simplement connexe, compact	ℝ	Le crochet de Lie est nul	1
${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$	Groupe général linéaire : matrices réelles n×n inversibles	Non connexe, non compact	${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$	Matrices n×n, le crochet de Lie étant le commutateur	n²
${\displaystyle GL^{+}(n,\mathbb {R} )}$	Matrices réelles n×n à déterminant positif	Simplement connexe, non compact	${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$	Matrices n×n, le crochet de Lie étant le commutateur	n²
${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$	Groupe spécial linéaire : matrices réelles de déterminant 1	Simplement connexe, non compact si n > 1	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} )}$	Matrices carrées de trace nulle, le crochet de Lie étant le commutateur	n² – 1
${\displaystyle O(n,\mathbb {R} )}$	Groupe orthogonal : matrices orthogonales réelles	Non connexe, compact	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {R} )}$	Matrices antisymétriques carrées réelles, le crochet de Lie étant le commutateur ; ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )}$ est isomorphe à ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ et ℝ3 muni du produit vectoriel	n(n - 1)/2
${\displaystyle SO(n,\mathbb {R} )}$	Groupe spécial orthogonal : matrices orthogonales réelles de déterminant 1	Simple pour n = 3 et n ≥ 5 ; semi-simple pour n = 4 ; connexe, compact, non simplement connexe pour n ≥ 2	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {R} )}$	Matrices antisymétriques carrées réelles, le crochet de Lie étant le commutateur	n(n - 1)/2
${\displaystyle Spin(n)}$	Groupe Spin	Simple pour n = 3 et n ≥ 5 ; semi-simple pour n = 4 ; simplement connexe, compact	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {R} )}$	Matrices antisymétriques carrées réelles, le crochet de Lie étant le commutateur	n(n - 1)/2
${\displaystyle Sp(2n,\mathbb {R} )}$	Groupe symplectique : matrices symplectiques réelles	Simple ; non compact	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )}$	Matrices réelles satisfaisant JA + ATJ = 0 où J est la matrice antisymétrique standard	n(2n + 1)
${\displaystyle U(n)}$	Groupe unitaire : matrices unitaires n×n complexes	Non simplement connexe, compact ; isomorphe à S1 pour n = 1	${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$	Matrices carrées complexes A vérifiant A = –A*, le crochet de Lie étant le commutateur	n²
${\displaystyle SU\left(n\right)}$	Groupe spécial unitaire : matrices unitaires complexes n×n de déterminant 1	Simple pour n ≥ 2 ; simplement connexe, compact	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$	Matrices carrées complexes de traces nulles A vérifiant A = –A*, le crochet de Lie étant le commutateur	n² – 1
${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$	Quaternions de module 1 munis de la multiplication, également noté ${\displaystyle Sp\left(1\right)}$	Simple ; simplement connexe, compact ; topologiquement une sphère, isomorphe à ${\displaystyle SU\left(2\right)}$ et ${\displaystyle Spin\left(3\right)}$	${\displaystyle Im(\mathbb {H} )}$	Quaternions de partie réelle nulle, le crochet de Lie étant le produit vectoriel ; Isomorphe aux vecteurs réels de dimension 3, également isomorphe à ${\displaystyle su\left(2\right)}$, est un revêtement double de ${\displaystyle so\left(3\right)}$	3
${\displaystyle Sp\left(n\right)}$	Groupe compact symplectique : matrices unitaires n×n quaternioniques	Simple ; compact, simplement connexe	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(n)}$	Matrices quaternioniques carrées A vérifiant A = –A*, le crochet de Lie étant le commutateur	n(2n + 1)

Les dimensions sont données sur ℂ. (Tout groupe ou algèbre de Lie complexe peut être vu comme un groupe ou une algèbre de Lie réel de dimension double.)

Groupe de Lie	Description	Propriétés	Algèbre de Lie	Description	Dimension
ℂn	Espace euclidien muni de l'addition	Abélien ; simplement connexe, non compact	ℂn	Le crochet de Lie est nul	n
ℂ*	Nombres complexes non nuls munis de la multiplication	Abélien ; non simplement connexe, non compact	ℂ	Le crochet de Lie est nul	1
${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$	Groupe général linéaire : matrices complexes n×n inversibles	Connexe, non simplement connexe, non compact ; isomorphe à ℂ* pour n = 1	${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )}$	Matrices n×n, le crochet de Lie étant le commutateur	n²
${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$	Groupe spécial linéaire : matrices complexes de déterminant 1	Simple ; simplement connexe, non compact pour n ≥ 2	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$	Matrices carrées de trace nulle, le crochet de Lie étant le commutateur	(n² – 1)
${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$	Groupe orthogonal : matrices orthogonales complexes	Non connexe, non compact pour n ≥ 2	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )}$	Matrices antisymétriques carrées complexes, le crochet de Lie étant le commutateur	n(n – 1)/2
${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$	Groupe spécial orthogonal : matrices orthogonales complexes de déterminant 1	Simple pour n = 3 et n ≥ 5 ; semi-simple pour n = 4 ; non simplement connexe, non compact pour n ≥ 2	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )}$	Matrices antisymétriques carrées complexes, le crochet de Lie étant le commutateur	n(n – 1)/2
${\displaystyle Sp(2n,\mathbb {C} )}$	Groupe symplectique : matrices symplectiques complexes	Simple ; non compact	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )}$	Matrices complexes satisfaisant JA + ATJ = 0 où J est la matrice antisymétrique standard	n(2n + 1)

Les dimensions sont données sur ℍ.

On répertorie cinq groupes de Lie dits exceptionnels, notés respectivement E6, E7, E8, F4 et G2.

(en) « Atlas of Lie Groups and Representations », sur NSF, American Institute of Mathematics (en)

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• (en) Thomas Hawkins, Emergence of the Theory of Lie Groups : An Essay in the History of Mathematics, 1869-1926, Springer, 2000, 566 p. (ISBN 978-0-387-98963-1, lire en ligne)
• (en) Sigurdur Helgason (de), Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, Academic Press, 1978 (lire en ligne), rééd. AMS 2001 (aperçu sur Google Livres), 2012
• (en) Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Springer, 2013 (1^re éd. 1996) (lire en ligne)
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• (en) John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer, coll. « GTM » (n^o 218), 2002 (lire en ligne)
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• (en) Claude Chevalley, Theory of Lie groups I, PUP, 1946
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