E8 (mathématiques)

En plus du groupe de Lie complexe ${\displaystyle E_{8}}$, de dimension complexe 248 (donc de dimension réelle 496), il existe trois formes réelles de ce groupe, toutes de dimension réelle 248. Les plus simples sont les formes compactes (en) ${\displaystyle E_{8(-248)}}$ et déployées (en) ${\displaystyle E_{8(8)}}$ (non compacte maximale ou encore split en anglais) et il en existe une troisième, notée ${\displaystyle E_{8(-24)}}$.

On peut construire la forme compacte du groupe E₈ comme le groupe d'automorphismes de l'algèbre de lie ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$ correspondante. Cette algèbre possède ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(16)}$ comme sous-algèbre de dimension 120 et on peut se servir de celle-ci pour décomposer la représentation adjointe comme

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}={\mathfrak {so}}(16)\oplus \textstyle {S}_{16}^{+}}$

où ${\displaystyle S_{16}^{+}}$ est l'une des deux représentations spinorielles, de type Majorana-Weyl du groupe ${\displaystyle \operatorname {Spin} (16)}$ dont ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(16)}$ est l'algèbre de Lie.

Si on appelle ${\displaystyle J_{ij}}$ un jeu de générateurs pour ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(16)}$ et ${\displaystyle Q_{a}}$ les 128 composantes de ${\displaystyle S_{16}^{+}}$ alors on peut écrire explicitement les relations définissant ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$ comme

${\displaystyle \left[J_{ij},J_{k\ell }\right]=\delta _{jk}J_{i\ell }-\delta _{j\ell }J_{ik}-\delta _{ik}J_{j\ell }+\delta _{i\ell }J_{jk}\,}$

ainsi que

${\displaystyle \left[J_{ij},Q_{a}\right]={\frac {1}{4}}\left(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i}\right)_{ab}Q_{b}\,}$,

qui correspond à l'action naturelle de ${\displaystyle \operatorname {so} (16)}$ sur le spineur ${\displaystyle S_{16}^{+}}$. Le commutateur restant (qui est bien un commutateur et non pas un anticommutateur) est défini entre les composantes du spineur comme

${\displaystyle \left[Q_{a},Q_{b}\right]=\gamma _{ac}^{[i}\gamma _{cb}^{j]}J_{ij}\,}$.

À partir de ces définitions on peut vérifier que l'identité de Jacobi est satisfaite.

La forme réelle compacte de E₈ peut être vue comme le groupe d'isométrie d'une variété riemannienne de dimension 128 appelée plan projectif octooctonionique. Ce nom vient de ce qu'il peut être construit en utilisant une algèbre qui est construite comme produit tensoriel des octonions avec eux-mêmes. Ce type de construction est analysé en détail par Hans Freudenthal et Jacques Tits dans leur construction dite du carré magique (en).

Dans le cadre des théories de grande unification en physique des particules, le groupe E₈ est parfois considéré comme groupe de jauge candidat dans la mesure où il contient d'une façon naturelle une série d'autres groupes de grande unifications souvent considérés. On peut le voir sous la succession d'inclusions

${\displaystyle E_{8}\leftarrow \operatorname {SO} (10)\leftarrow \operatorname {SU} (5)\leftarrow \operatorname {SU} (3)\times \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {U} (1)\,}$

Par ailleurs, le groupe E₈ apparait fréquemment en théorie des cordes et en supergravité. Dans la théorie des cordes hétérotiques une formulation fait apparaître ${\displaystyle \textstyle {E_{8}}\times \textstyle {E_{8}}}$ (sous forme compacte) comme groupe de jauge. Par ailleurs, lorsque la supergravité maximale est compactifiée sur un tore de dimension 8 alors la théorie résultante en dimension trois possède une symétrie globale E₈ (c'est-à-dire la forme déployée, ou maximalement non compacte). Il a été par la suite suggéré qu'une version discrète, notée ${\displaystyle E_{8}(\mathbb {Z} )}$, de ce groupe serait une symétrie, appelée dans ce contexte U-dualité (en), de la théorie M.

En novembre 2007, un physicien américain, Antony Garrett Lisi, dépose sur le site de prépublications scientifiques arXiv un article très discuté sur une théorie unificatrice des forces basée sur le groupe E₈ : « An Exceptionally Simple Theory of Everything ».

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$ se distingue des autres algèbres de Lie de dimension finie par le fait que sa plus petite représentation non triviale est la représentation adjointe.

La représentation fondamentale de E₈ est de dimension 248.

Le 19 mars 2007, l'Institut américain des mathématiques (en) (AIM) a annoncé que des chercheurs américains et européens et après quatre ans d'efforts et plus d'un siècle après sa découverte sont parvenus à décoder l'E₈, l'une des structures mathématiques les plus complexes et les plus grandes. Le noyau dur du groupe de chercheurs est formé de sept mathématiciens, cinq Américains et deux Français : Jeffrey Adams de l'université du Maryland, Dan Barbasch de l'université Cornell, John Stembridge (en) de l'université du Michigan, Peter Trapa de l'université de l'Utah, Marc van Leeuwen de l'université de Poitiers, David Vogan du Massachusetts Institute of Technology et Fokko du Cloux de l'université de Lyon[1].

Selon Peter Sarnak, professeur de mathématiques à l'université de Princeton et président du comité scientifique de AIM, le décodage de ce groupe pourrait ouvrir la porte à d'autres innovations dans le domaine de la programmation informatique.

« Cette percée est importante non seulement pour faire avancer les connaissances mathématiques de base mais aussi pour faciliter les calculs par ordinateur permettant de résoudre des problèmes complexes, […]. Le décodage de cette structure appelée E₈ pourrait aussi très bien avoir des applications en mathématiques et physique qu'on ne découvrira pas avant plusieurs années. »

— Peter Sarnak, Le Monde, 19 mars 2007

Parmi les objets sous-jacents aux groupes de Lie, on trouve toutes sortes de figures géométriques telles que les sphères, les cônes, les cylindres dans l’espace à trois dimensions. Mais les choses se corsent lorsque l’on étudie ces objets dans des espaces de dimensions supérieures. « Comprendre et classer les structures ${\displaystyle E_{8}}$ a été critique pour comprendre des phénomènes dans de nombreux domaines des mathématiques incluant l’algèbre, la géométrie, la théorie des nombres ainsi que la physique et la chimie », commente Peter Sarnak, professeur de mathématique à l’université de Princeton et président du comité scientifique de l’AIM.

Ces calculs ont nécessité de nouvelles techniques mathématiques et des capacités de calcul des ordinateurs qui n'existaient pas il y a encore peu d'années, précisent les chercheurs. L’opération a pris 77 heures et a nécessité un supercalculateur doté de 200 Go de mémoire vive, et a produit un résultat de l’ordre de 60 Go dont la taille peut être comparée à 60 fois celle du génome humain. L’équipe attendait donc de trouver un supercalculateur capable d’effectuer les calculs lorsque Noam Elkies, un mathématicien de l’université Harvard a mis en évidence un moyen de découper le projet en éléments plus simples. Chaque élément produit un sous-ensemble du résultat et leur réunion permet de donner la solution complète au problème. À l’été 2006, trois membres de l’équipe, dont Fokko du Cloux, ont décomposé le programme en plusieurs éléments. Les calculs ont été réalisés sur une machine de l’université de Washington.

L’ordre de grandeur et la nature du calcul est à rapprocher du projet de séquençage du génome humain, indique le communiqué de presse diffusé par AIM. Alors que l’ensemble des informations du génome représente un volume de 1 Go, le résultat de l’E₈ est environ 60 fois plus important avec des données hautement compressées. Écrit sur un papier, ce résultat couvrirait un espace équivalent à la taille de Manhattan.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « E8 (mathematics) » (voir la liste des auteurs).

• Groupe de Lie E8 : une clé pour la théorie des supercordes ? sur futura-sciences.com
• Une solution mathématique aux dimensions démesurées sur techno-science.net