Représentation adjointe
Définition
Soient :
- , un groupe de Lie ;
- , l'élément identité de ;
- , l'algèbre de Lie de ;
- l'automorphisme intérieur de sur lui-même, donné par .
Définition :
La représentation adjointe du groupe de Lie sur son algèbre de Lie est :
- .
Remarques :
- la représentation adjointe est un morphisme de groupes :
- ;
- pour tout , la représentation adjointe de est un isomorphisme d'algèbres :
- .
Définition :
La représentation adjointe de l'algèbre de Lie sur elle-même est :
- :{\mathfrak {g}}\to \mathrm {End} ({\mathfrak {g}});\xi \mapsto \mathrm {ad} _{\xi }:=\mathrm {Ad} _{*}|_{e}(\xi )}
.
Remarques :
- la structure d'algèbre sur l'espace tangent peut être définie à partir de la représentation adjointe via :
- ;
- puisque le crochet de Lie satisfait l'identité de Jacobi, la représentation adjointe :{\mathfrak {g}}\to \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})}
est un morphisme d'algèbres :
- .
Lorsque G est un groupe matriciel
Supposons que est un groupe de Lie matriciel, e. g. ou , de sorte que son algèbre de Lie soit aussi matriciel, e. g. ou .
Alors, les deux représentations adjointes sont explicitement :
où est ici le commutateur de matrices.
La forme de Killing est définie par :
- ;(\xi _{1},\xi _{2})\mapsto K(\xi _{1},\xi _{2}):=\mathrm {Tr} (\mathrm {ad} _{\xi _{1}}\circ \mathrm {ad} _{\xi _{2}})}
.
La forme de Killing est -invariante :
- .
Ainsi, elle vérifie de plus :
- .
Régularité de la représentation adjointe
Si est un groupe de Lie de classe , l'application adjointe est différentiable.
En effet, il suffit de démontrer que l'application d'évaluation est différentiable.
Mais par définition de , c'est la différentielle en la seconde variable en l'élément neutre de . En toute généralité, il y a une perte de régularité pour la représentation adjointe.
Livre
(en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, 1963
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