Automorphisme intérieur

• Soit G un groupe. Un automorphisme intérieur de G est une application de la forme${\displaystyle \iota _{g}:G\to G,x\mapsto gxg^{-1}}$pour un certain élément g de G (on parle alors de l'automorphisme intérieur associé à g).
  Tout automorphisme intérieur de G est un automorphisme du groupe G, c'est-à-dire
  • un morphisme de G dans G :${\displaystyle \forall x,y\in G\quad \iota _{g}(x)\iota _{g}(y)=(gxg^{-1})(gyg^{-1})=gxyg^{-1}=\iota _{g}(xy)}$
  • bijectif : la bijection réciproque de ι_g est ι_g⁻¹, puisque${\displaystyle \iota _{g}\circ \iota _{h}=\iota _{gh}\quad {\text{(car }}\forall x\in G\quad g(hxh^{-1})g^{-1}=(gh)x(gh)^{-1})}$et que, comme l'élément neutre appartient au centre Z(G) de G, son automorphisme intérieur associé est l'identité (plus généralement, l'ensemble des points fixes de ι_g est exactement le centralisateur de g).
• Deux éléments de G ou deux sous-groupes de G images l'un de l'autre par un automorphisme intérieur sont dits conjugués.

Remarque : si G est muni de structures supplémentaires (groupe topologique, groupe de Lie, groupe algébrique), les automorphismes intérieurs sont toujours des isomorphismes pour les structures considérées.

Un sous-groupe H de G est dit normal ou distingué dans G lorsqu'il est globalement stable par tous les automorphismes intérieurs. Cela revient à dire qu'il est son seul conjugué.

Avec les notations ci-dessus, si H est un sous-groupe normal de G, tout automorphisme intérieur de G se restreint en un automorphisme de H. D'où un morphisme de groupes éventuellement surjectif ${\displaystyle \mathrm {Int} (G)\rightarrow \mathrm {Aut} (H)}$. La surjectivité est espérée pour déterminer le groupe des automorphismes de H.

La composition par ${\displaystyle \iota }$ donne un morphisme ${\displaystyle G\rightarrow \mathrm {Aut} (H)}$, dont le noyau est le centralisateur de H.