Centralisateur

Soient G un groupe et x un élément de G. Le centralisateur de x dans G, noté C_G(x) (ou C(x) si le contexte n'est pas ambigu) est, par définition, l'ensemble des éléments de G qui commutent avec x. Cet ensemble est un sous-groupe de G.

La troisième des démonstrations ci-dessus montre en fait que C_G(x) est le stabilisateur du point x relativement à l'action du groupe G sur lui-même par conjugaison. D'après la formule des classes, on peut donc énoncer :

• Soient G un groupe et x un élément de G. Le cardinal de l'ensemble des conjugués de x dans G est égal à l'indice de C_G(x) dans G.

Soient G un groupe et X une partie de G. Le centralisateur de X dans G, noté C_G(X) (ou C(X) si le contexte n'est pas ambigu) est l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les éléments de X. Si X est un singleton {x}, C_G(X) est égal au centralisateur C_G(x) de x défini plus haut. Si X est une partie non vide de G, on peut parler de l'intersection ${\displaystyle \ \bigcap _{x\in X}C_{G}(x)}$ et il est clair que cette intersection est égale à C_G(X) ; donc C_G(X) est une intersection de sous-groupes de G et est ainsi un sous-groupe de G. Si X est vide, C_G(X) est G tout entier et est donc encore un sous-groupe de G.

Le centralisateur de la partie G de G est le centre de G.

• Les premières propriétés du centralisateur d'une partie d'un groupe G sont des cas particuliers des propriétés du commutant d'une partie d'un magma :
  • Si X et Y sont des parties de G, dire que X est contenu dans C_G(Y) revient à dire que Y est contenu dans C_G(X), car chacune de ces conditions revient à dire que tout élément de X commute avec tout élément de Y.
  • En particulier, une partie X de G est contenue dans C_G(X) si et seulement si tous les éléments de X commutent entre eux.
  • Si X et Y sont des parties de G et si X est contenue dans Y, alors C_G(Y) est contenu dans C_G(X).
  • Toute partie X de G est incluse dans son bicommutant C_G(C_G(X)).
  • C_G(C_G(C_G(X))) = C_G(X). Cette équation[1] peut se reformuler en disant que dans un groupe G, un sous-ensemble H est un centralisateur (i.e. il existe une partie de G dont H est le centralisateur) si et seulement s'il est le centralisateur de C_G(H).
• Si X est une partie d'un groupe G, le centralisateur de X dans G est égal au centralisateur dans G du sous-groupe ⟨X⟩ de G engendré par X.

Justification. Puisque X est contenue dans ⟨X⟩, il résulte de la remarque précédente que C_G(⟨X⟩) est contenu dans C_G(X), que nous noterons Y. Réciproquement, montrons que C_G(⟨X⟩) contient Y. D'après une propriété énoncée plus haut, le sous-groupe C_G(Y) contient X, donc contient ⟨X⟩ (par définition du sous-groupe engendré). En réutilisant la même propriété, ceci revient à dire que C_G(⟨X⟩) contient Y.

Justification. Il est clair que si c est un élément de C = C_G(H), alors c H c^-1 = H, donc c appartient à N = N_G(H), ce qui montre que C est sous-groupe de N. D'autre part, puisque H est normal dans N, tout automorphisme intérieur Int_N(n) de N (avec n dans N) induit un automorphisme (non forcément intérieur) Int_N(n)_|H de H. L'application ${\displaystyle \ n\mapsto \mathrm {Int} _{N}(n)_{|H}}$ est un homomorphisme de N dans Aut(H) et il est clair que le noyau de cet homomorphisme est C. Donc C est sous-groupe normal de N et, d'après le premier théorème d'isomorphisme, N/C est isomorphe à l'image de cet homomorphisme, image qui est un sous-groupe de Aut(H).

Grâce au lemme N/C, la structure interne d'un sous-groupe H de G peut fournir des renseignements sur N_G(H)/C_G(H). On montre ainsi, par exemple, que si G est un groupe fini non trivial, si p est le plus petit diviseur premier de l'ordre de G, si un p-sous-groupe de Sylow P de G est cyclique, alors N_G(P)/C_G(P) = 1, autrement dit N_G(P) est réduit à C_G(P), de sorte que les hypothèses du théorème du complément normal de Burnside sont satisfaites et que P admet un complément normal dans G[3].

• Soit X une partie de G. Le normalisateur de X dans G est par définition[4] l'ensemble des éléments g de G tels que g X g^-1 = X. On vérifie facilement que si h est un élément de G tel que ${\displaystyle \ hXh^{-1}\subseteq X,}$ et c un élément de C_G(X), alors h^-1 c h appartient lui aussi à C_G(X). On en tire en particulier que C_G(X) est sous-groupe normal de N_G(X), ce qui, dans le cas où X est un sous-groupe de G, a été démontré autrement au point précédent.

Soient G₁ et G₂ deux groupes, H un sous-groupe de G₁ et f un homomorphisme de G₁ dans G₂. On vérifie facilement que ${\displaystyle \ f(C_{G_{1}}(H))\subseteq C_{G_{2}}(f(H))}$ et que

• si f est un isomorphisme de G₁ sur G₂, alors ${\displaystyle \ f(C_{G_{1}}(H))=C_{G_{2}}(f(H))}$.

En appliquant cela aux automorphismes et aux automorphismes intérieurs d'un groupe G, on en tire que

• le centralisateur d'un sous-groupe caractéristique de G est lui-même caractéristique dans G[5]

et (ce qu'on peut tirer aussi du lemme N/C) que

• le centralisateur d'un sous-groupe normal de G est lui-même normal dans G[6].

(On utilise ce dernier fait pour prouver par exemple qu'un groupe complet est facteur direct de tout groupe dont il est sous-groupe normal.)