Commutant

En algèbre, le commutant[1] d'un sous-ensemble $X$ d'un magma A (par exemple une algèbre sur un anneau, pour la multiplication) est le sous-ensemble $X'$ des éléments de A qui commutent avec tout élément de $X$ . Autrement dit,

X'=\{a\in A~|~\forall x\in X,xa=ax\}.

En théorie des groupes, le commutant est appelé centralisateur.

Propriétés

Les deux premières propriétés expriment, de deux façons équivalentes, que l'application ${\mathcal {P}}(A)\to {\mathcal {P}}(A),X\mapsto X'$ permet de définir une correspondance de Galois antitone. La troisième[2] en est une conséquence[3].

$X\subset Y'\Leftrightarrow Y\subset X'$
$(X\subset Y\Rightarrow Y'\subset X')$ et $X\subset X''$
$X'''=X'~$
Si A est un demi-groupe (par exemple un groupe, ou bien un pseudo-anneau, pour la multiplication) alors[2] le commutant d'une partie quelconque de A forme une partie stable de A.

Notes et références

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitres 1 à 3, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-33849-9) p. A I.7.
N. Bourbaki, op. cit., p. A I.8.
Voir Propriétés des correspondances de Galois.

Articles connexes

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