Trace (algèbre)

Étant donné une matrice carrée

${\displaystyle A=(a_{i\,j})_{1\leq i,j\leq n}}$

à coefficients dans un corps commutatif K (ou seulement dans un anneau commutatif), sa trace, notée Tr(A), est le scalaire somme des coefficients de sa diagonale principale[2] :

${\displaystyle \mathrm {Tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{i\,i}}$.

Pour toutes matrices carrées A et B (de même ordre) et pour tout scalaire α∊K, les propriétés suivantes sont vérifiées :

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {Tr} (A+B)&=&\mathrm {Tr} (A)+\mathrm {Tr} (B)\\\mathrm {Tr} (\alpha A)&=&\alpha \mathrm {Tr} (A)\\\mathrm {Tr} (A^{T})&=&\mathrm {Tr} (A),\\\end{matrix}}}$

où A^T désigne la transposée de A.

Autrement dit, la trace est une forme linéaire sur l'espace vectoriel[3] ℳ_n(K) des matrices carrées d'ordre n, invariante par transposition.

L'application Tr étant une forme linéaire, son noyau est un hyperplan de ℳ_n(K).

Si maintenant A et B sont des matrices (n, m) et (m, n) (non nécessairement carrées, mais fournissant des matrices carrées par multiplication), on a l'identité[4] :

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {Tr} (AB)&=&\mathrm {Tr} (BA).\\\end{matrix}}}$

L'égalité précédente a pour conséquence l'identité suivante, valable pour toute matrice carrée A et pour toute matrice inversible P de même ordre[5] :

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {Tr} (P^{-1}AP)&=&\mathrm {Tr} (A).\\\end{matrix}}}$

Autrement dit, la trace est un « invariant de similitude » pour les matrices carrées d'ordre donné, c'est-à-dire que deux matrices semblables ont même trace, ce qui n'a rien de surprenant si l'on connaît le lien entre la trace et le polynôme caractéristique (voir infra) et l'invariance par similitude de ce dernier.

On peut montrer par une preuve assez brève, faisant intervenir les unités matricielles (en) (c.-à-d. les matrices de la base canonique de ℳ_n(K), qui sont les matrices dont un seul coefficient vaut 1 et tous les autres 0) qu'une forme linéaire sur l'espace ℳ_n(K) invariante par similitude est nécessairement proportionnelle à la trace[6] - [7].

En particulier

• matrice nulle : Tr(0_{n, n}) = 0 ;
• matrice identité : Tr(I_n) = n.

Applications

La trace du tenseur des contraintes T est un invariant. La pression isostatique vaut le tiers de la trace :

${\displaystyle p={\frac {\operatorname {Tr} (\mathrm {T} )}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}}$.

Si la trace d'une matrice carrée peut être définie sans technicité particulière sur n'importe quel anneau commutatif, il n'en est pas de même pour la trace d'un endomorphisme. En utilisant une représentation matricielle, c'est faisable à assez peu de frais pour un endomorphisme d'espace vectoriel ; une construction plus abstraite, utilisant l'algèbre tensorielle, permet d'étendre le concept à certains endomorphismes de module — mais pas tous.

Si E est un espace vectoriel de dimension finie n, la trace d'un endomorphisme ${\displaystyle u\in {\mathcal {L}}(E)}$, notée ${\displaystyle \mathrm {Tr} (u)}$, est définie comme la trace de la matrice de u dans une base préalablement fixée ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ de E[8]. Cette définition ne dépend pas du choix arbitraire de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ car si ${\displaystyle {\mathcal {B}}'}$ est une autre base, la « formule de changement de base » montre que les matrices de u respectivement dans ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {B}}'}$ sont semblables donc (cf. supra) ont même trace.

Les propriétés suivantes sont vérifiées pour tous les endomorphismes ${\displaystyle u,v\in {\mathcal {L}}(E)}$, tout scalaire ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$ et tout w ∈ GL(E) (c'est-à-dire que w est un automorphisme de E)

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {Tr} (u+v)&=&\mathrm {Tr} (u)+\mathrm {Tr} (v)\\\mathrm {Tr} (\alpha u)&=&\alpha \mathrm {Tr} (u)\\\mathrm {Tr} (u\circ v)&=&\mathrm {Tr} (v\circ u)\\\mathrm {Tr} (w^{-1}\circ u\circ w)&=&\mathrm {Tr} (u).\end{matrix}}}$

Autrement dit : la trace est une forme linéaire sur l'espace vectoriel ${\displaystyle {\mathcal {L}}(E)}$, invariante par conjugaison.

De plus, ${\displaystyle \mathrm {Tr} (u^{T})=\mathrm {Tr} (u)}$, où ${\displaystyle u^{T}\in {\mathcal {L}}(E^{*})}$ désigne l'application transposée de u.

En utilisant la contraction tensorielle, il est possible d'étendre le concept de trace aux endomorphismes des modules projectifs de type fini[9].

Soit (E,g) un espace euclidien. On définit une bijection (détaillée dans la section Forme bilinéaire symétrique (resp. forme hermitienne) associée de l'article Opérateur autoadjoint) entre les formes quadratiques q sur E, et les opérateurs symétriques A sur (E,g) par :

${\displaystyle q(v)=g(v,Av)}$.

La trace de A est appelée trace de la forme quadratique q par rapport à g[10].

On démontre l'égalité ci-dessus et, si

${\displaystyle p_{A}(X)=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})\cdots (X-\lambda _{n})}$

(où les λ_i appartiennent à un anneau commutatif contenant les coefficients de A), l'égalité suivante :

${\displaystyle {\textrm {Tr}}(A)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}$.

Soit q un polynôme (à coefficients dans un anneau commutatif contenant les λ_i ci-dessus et les coefficients de A). Alors :

${\displaystyle {\textrm {Tr}}[q(A)]=\sum _{i=1}^{n}q(\lambda _{i})}$.

En particularisant la formule précédente au monôme q = X^k, on obtient :

${\displaystyle {\textrm {Tr}}(A^{k})=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{k}}$.

En caractéristique nulle, les polynômes symétriques élémentaires peuvent être reconstitués polynomialement à partir des sommes de Newton, via les identités de Newton. De ce fait, il existe des formules polynomiales universelles permettant d'exprimer les coefficients du polynôme caractéristique d'une matrice (n,n) en fonction des traces de ses puissances (et même des puissances d'exposant inférieur ou égal à n). Pour en donner un exemple :

${\displaystyle c_{n-2}={\frac {{\textrm {Tr}}(A)^{2}-{\textrm {Tr}}(A^{2})}{2}}.}$

En voici une application[14] : si A est une matrice (n,n) à coefficients dans un corps de caractéristique nulle et vérifie : ${\displaystyle \mathrm {Tr} (A)=\mathrm {Tr} (A^{2})=\dots =\mathrm {Tr} (A^{n})=0}$, alors A est nilpotente.

Étant donné un espace vectoriel réel E de dimension finie, le déterminant définit une application det de l'espace des opérateurs sur E vers R, qui est homogène de degré n. Le nombre det(u) s'exprime comme une fonction polynomiale en les coefficients de la matrice représentant u dans une base quelconque de E. La fonction det est donc différentiable. Sa différentielle en l'identité est la trace. Autrement dit, pour tout opérateur u sur E,

${\displaystyle {\textrm {det}}(I+u)=1+{\textrm {Tr}}(u)+o(u)}$

où o(u) signifie que le reste est négligeable devant u quand u tend vers zéro. Comme conséquence, pour tout opérateur u sur E,

${\displaystyle \det(\exp(u))=\exp({\textrm {Tr}}(u))}$.

En particulier, l'exponentielle de u est de déterminant 1 si et seulement si u est un opérateur de trace nulle. Ce résultat s'interprète dans la théorie des groupes de Lie comme suit. L'application det est un morphisme continu de groupes, du groupe linéaire GL(E) vers R. Son noyau, l'ensemble des opérateurs de déterminant 1, donc est un sous-groupe de GL(E), noté SL(E). Il s'agit d'un groupe de Lie classique, c'est-à-dire d'un sous-groupe fermé de GL(E). Géométriquement, un opérateur appartient à SL(E) si et seulement s'il préserve le volume de Lebesgue de E. Son algèbre de Lie est exactement l'ensemble des opérateurs u de trace nulle, noté ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(E)}$.

Sur un ouvert U de E, un champ de vecteurs X est une application ${\displaystyle X:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$. Si cette application est lipschitzienne, le théorème de Cauchy-Lipschitz affirme l'existence de solutions maximales de l'équation différentielle ordinaire

${\displaystyle c'(t)=X(c(t))}$ (1).

Le flot de X est la famille de difféomorphismes f_t qui envoient x sur c(t), où c est la solution de (1) avec comme condition initiale c(0)=x. Le flot est défini localement. On introduit la divergence de X

${\displaystyle {\rm {{div}(X)(x)={\rm {{Tr}(dX(x))}}}}}$

où dX(x) désigne la différentielle de X en x, qui est un opérateur sur E. Le flot f_t préserve le volume de Lebesgue ssi la divergence est nulle. Plus précisément, pour tout ouvert ${\displaystyle \Omega }$ dont l'adhérence est incluse dans U,

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}{\textrm {Vol}}(f_{t}(\Omega ))=\int _{\Omega }{\textrm {div}}(X)(x)dx}$.

(Cette égalité permet d'étendre la définition de la divergence, par exemple sur des variétés orientées en présence de formes volumes.)

Si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est une algèbre de Lie sur un corps K, la représentation adjointe de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, notée ad, est donnée par

${\displaystyle {\textrm {ad}}(X)(Y)=[X,Y]}$.

La forme de Killing sur ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ est la forme bilinéaire symétrique

${\displaystyle B(X,Y)={\textrm {Tr}}\left({\textrm {ad}}(X)\circ {\textrm {ad}}(Y)\right)}$.

Les automorphismes de l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ préservent la forme de Killing. En particulier, sa représentation adjointe préserve B. La forme de Killing a été introduite par Élie Cartan[15] pour caractériser la semi-simplicité des algèbres de Lie. Quand K=R, elle fournit aussi des informations sur le groupe de Lie associé. Voir critère de Cartan (en).

Soit G un groupe de Lie (par exemple, un sous-groupe fermé de GL(E)). Par définition, son algèbre de Lie est l'espace des champs de vecteurs sur G invariants à gauche, muni du crochet de Lie [,] (commutateur de champs de vecteurs). La forme de Killing associée B définit une métrique pseudo-riemannienne bi-invariante sur G. Si la forme de Killing B est définie positive, alors la métrique associée est une métrique riemannienne à courbure positive. Le théorème de Meyers implique que G est compact. D'autres liens existent.

Soit ${\displaystyle A=(a_{i,j})_{1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq p}}$ et ${\displaystyle B=(b_{i,j})_{1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq p}}$ deux matrices dans ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n,p}(\mathbb {R} )}$. On remarque que

${\displaystyle (A\mid B)=\sum _{1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq p}a_{i,j}b_{i,j}=\mathrm {Tr} (^{t}AB)=\mathrm {Tr} (^{t}BA)}$

On dispose ainsi d'une écriture agréable du produit scalaire canonique sur l'espace ${\displaystyle \mathbb {R} ^{np}}$.

Si H est un espace euclidien ou hermitien, l'opérateur adjoint d'un opérateur u sur H est un opérateur sur H. On définit alors le produit scalaire suivant sur l'espace ${\displaystyle {\mathcal {L}}(H)}$ des opérateurs sur H :

${\displaystyle (u\mid v)={\textrm {Tr}}(u^{*}v)}$.

Avec cette définition, il apparait clairement que les opérateurs autoadjoints et les opérateurs antiautoadjoints forment deux sous-espaces orthogonaux de ${\displaystyle {\mathcal {L}}(H)}$. L'adjonction est la symétrie orthogonale par rapport à l'espace des opérateurs autoadjoints.

Soit U un ouvert de l'espace vectoriel réel ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ contenant 0, et soit ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} }$ de classe C². La hessienne H de f en 0 est une forme bilinéaire symétrique sur E, vérifiant

${\displaystyle f(x)-f(0)=\mathrm {d} f(0)(x)+H(f)(x,x)+o(\|x\|^{2})}$.

Par définition, le laplacien de f en 0 est la trace de la hessienne :

${\displaystyle \Delta f(0)=\mathrm {Tr} [H(f)(0)]=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}(0).}$

Les fonctions de classe C² de laplacien nul sont dites harmoniques. Nécessairement analytiques, ces fonctions interviennent notamment en analyse complexe et en analyse fonctionnelle. En particulier, les fonctions de laplacien nul sont les solutions du problème de Dirichlet qui est la recherche des extrémales de l'énergie de Dirichlet.

Par ailleurs, la définition du Laplacien se généralise en géométrie différentielle pour des fonctions sur des variétés riemanniennes (opérateur de Laplace-Beltrami), mais aussi pour des objets plus généraux comme les formes différentielles. Y compris dans ce cadre plus général, la définition peut être donnée par des traces de formes bilinéaires. Les formes de laplacien nul sont appelées harmoniques, et la théorie de Hodge en montre l'importance.

Étant donné une surface orientée lisse S de l'espace euclidien ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, la courbure moyenne de S en x est la moyenne des deux courbures principales de S en x. Formellement, ces courbures sont les valeurs propres d'une forme quadratique sur le plan tangent T_xS, appelée la seconde forme fondamentale de S en x, notée II_x. La courbure moyenne de S en x est

${\displaystyle m(x)={\frac {\mathrm {Tr} (\mathrm {II} _{x})}{2}}}$.

La définition de la courbure moyenne s'étend aux sous-variétés lisses N des variétés riemanniennes. Sa valeur en x n'est plus un scalaire mais un vecteur orthogonal à T_xN, qui se définit encore au moyen de traces. Les sous-variétés de courbure moyenne nulle sont appelées minimales et sont les extrémales du volume riemannien.