Théorème de Burnside (groupe résoluble)

Raisonnons par l'absurde : G désigne un groupe non résoluble (noté multiplicativement et d'élément neutre noté 1) d'ordre pⁿq^m minimal.

• G est un groupe simple de centre {1} et n est non nul.

G n'est bien sûr pas trivial. S'il existait dans G un sous-groupe normal H différent de G et de {1} alors (par minimalité de G), H et G/H seraient résolubles donc G aussi, ce qui est exclu. Donc G est simple.

Si n était nul, G serait un q-groupe fini, donc nilpotent, donc résoluble, ce qui est exclu.

Enfin, G n'est pas abélien (il n'est pas résoluble), donc son centre n'est pas égal à G tout entier. Par simplicité de G, il est égal à {1}.

• Il existe dans G un élément g dont le nombre de conjugués est de la forme q^d pour un certain d > 0.

L'un des théorèmes de Sylow montre que G contient un sous-groupe S d'ordre pⁿ. Comme S est un p-groupe non trivial, son centre Z(S) est encore non trivial. Fixons alors dans Z(S) un élément g différent de 1. Le nombre de conjugués de g est égal à l'indice du centralisateur de g, qui divise l'indice q^m de son sous-groupe S. Ce nombre est donc de la forme q^d. De plus, l'entier d est strictement positif car g est différent de 1 donc non central dans G.

• Il existe un caractère irréductible χ non trivial, tel que l'entier χ(1) ne soit pas divisible par q et que le complexe χ(g) soit non nul.

Soit (χ_i)_1≤i≤h la famille des caractères (sur ℂ) irréductibles de G (ici χ₁ désigne le caractère trivial). Comme g n'est pas dans la même classe de conjugaison que le neutre 1, la relation d'orthogonalité sur les colonnes de la table des caractères du groupe donne :

${\displaystyle 0=\sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g)=1+\sum _{i=2}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g).}$

Or les χ_i(g) sont des entiers algébriques, comme sommes de racines de l'unité. Si tous les caractères irréductibles non triviaux qui ne s'annulent pas en g prenaient en 1 une valeur multiple de q, on en déduirait que le nombre

${\displaystyle -{\frac {1}{q}}=\sum _{i>2,~\chi _{i}(g)\neq 0}{\frac {\chi _{i}(1)}{q}}\chi _{i}(g)}$

est un entier algébrique (comme combinaison linéaire à coefficients dans ℤ d'entiers algébriques), ce qui est absurde. Cette contradiction démontre la proposition.

• Le nombre complexe q^dχ(g)/χ(1) est un entier algébrique.

Soit u l'élément de l'algèbre du groupe G sur les nombres complexes égal à la somme des q^d éléments de la classe de conjugaison c_g de g. D'après le paragraphe Entier algébrique de l'article Algèbre d'un groupe fini, le complexe suivant est alors un entier algébrique :

${\displaystyle {\frac {1}{\chi (1)}}\sum _{s\in G}u_{s}\chi (s)={\frac {1}{\chi (1)}}\sum _{s\in c_{g}}\chi (g)={\frac {q^{d}\chi (g)}{\chi (1)}}.}$

• Le nombre complexe χ(g)/χ(1) est un entier algébrique.

En effet, q étant premier avec χ(1), le théorème de Bachet-Bézout montre l'existence de deux entiers a et b tels que :

${\displaystyle aq^{d}+b\chi (1)=1\quad {\text{donc}}\quad {\frac {\chi (g)}{\chi (1)}}=a{\frac {q^{d}\chi (g)}{\chi (1)}}+b\chi (g).}$

La valeur recherchée est donc combinaison linéaire à coefficients entiers d'entiers algébriques, ce qui démontre la proposition.

• L'image de g, par la représentation ρ de caractère χ, est une homothétie.

Notons ζ le nombre complexe χ(g)/χ(1). C'est un entier algébrique non nul, donc sa norme N(ζ) (i.e. le produit de ses conjugués, c'est-à-dire des racines de son polynôme minimal sur ℚ) est un entier relatif non nul. Or ζ est une moyenne arithmétique de racines de l'unité (les valeurs propres de ρ(g)), donc ses conjugués aussi, donc tous sont de module inférieur ou égal à 1. Comme leur produit N(ζ) est de module supérieur ou égal à 1, tous sont en fait de module 1, en particulier ζ, ce qui signifie que les valeurs propres de ρ(g) sont égales, donc que ρ(g) est une homothétie.

• Conclusion

Soit N le noyau de ρ. L'homothétie ρ(g) est centrale dans Im(ρ) (qui est canoniquement isomorphe à G/N), alors que g n'est pas central dans G. Par conséquent, le sous-groupe normal N du groupe simple G est non trivial, donc égal à G, si bien que la représentation ρ est triviale, ce qui contredit le choix de χ (caractère non trivial).

Cette contradiction démontre le théorème.