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Espace vectoriel de dimension finie

Sur un corps K, un espace vectoriel E est dit de dimension finie s'il admet une base finie. Il suffit pour cela qu'il admette une famille génératrice finie[1].

Les espaces de dimension finie jouissent de propriétés qui leur sont propres. Les bases duales en sont des exemples.

Bases et dimension

Tout espace vectoriel E admet une base — c'est-Ă -dire une famille libre et gĂ©nĂ©ratrice — et deux bases quelconques de E ont mĂŞme cardinalitĂ©, appelĂ©e la dimension de E. Les articles « ThĂ©orème de la base incomplète » et « ThĂ©orème de la dimension pour les espaces vectoriels Â» prĂ©sentent, pour chacun de ces deux rĂ©sultats, une dĂ©monstration gĂ©nĂ©rale et une dĂ©monstration spĂ©cifique au cas oĂą E est engendrĂ© par un nombre fini n de vecteurs : on peut alors former une base de E en prĂ©levant certains de ces n vecteurs, et le lemme de Steinitz garantit que le nombre de vecteurs de toute famille libre est majorĂ© par celui de toute famille gĂ©nĂ©ratrice.

Référence

  1. (en) Serge Lang, Algebra, 1965 [détail des éditions], p. 91, proposition 3.12.

Voir aussi

Exemples d'espaces vectoriels

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