Matrice hessienne

Etant donnée une fonction ${\displaystyle f}$ à valeurs réelles

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ;(x_{1},...,x_{n})\mapsto f(x_{1},...,x_{n})}

dont toutes les dérivées partielles secondes existent, le coefficient d'indice ${\displaystyle i,j}$ de la matrice hessienne ${\displaystyle H(f)}$ vaut ${\displaystyle H_{ij}(f)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$.

Autrement dit,

${\displaystyle H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{{\partial x_{1}}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{{\partial x_{2}}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{{\partial x_{n}}^{2}}}\end{bmatrix}}}$ .

On appelle discriminant hessien (ou simplement hessien) le déterminant de cette matrice.

Le terme « hessien » a été introduit par James Joseph Sylvester, en hommage au mathématicien allemand Ludwig Otto Hesse.

Soit notamment ${\displaystyle f}$ une fonction de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ définie sur un ouvert ${\displaystyle U}$ de l'espace ${\displaystyle E}$, à valeurs réelles. Sa matrice hessienne est bien définie et en vertu du théorème de Schwarz, elle est symétrique.

On appelle forme hessienne la forme quadratique associée à la matrice hessienne.

Point col

On suppose ${\displaystyle f}$ fonction de classe C² sur un ouvert ${\displaystyle U}$. La matrice hessienne permet, dans de nombreux cas, de déterminer la nature des points critiques de la fonction ${\displaystyle f}$, c'est-à-dire des points d'annulation du gradient.

Lorsque ${\displaystyle M}$ est une variété différentielle et ${\displaystyle f}$ une fonction numérique lisse sur ${\displaystyle M}$, il est possible de définir la différentielle ${\displaystyle \mathrm {d} _{x}f}$ de ${\displaystyle f}$ en tout point, mais pas la matrice hessienne, comme on le voit en écrivant une formule de changement de cartes. Cependant, lorsque ${\displaystyle m}$ est un point critique pour la fonction ${\displaystyle f}$, la matrice hessienne de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle m}$ peut effectivement être définie. On peut donc parler de point critique dégénéré ou non et définir l'indice d'un tel point.

Il est possible de fournir une définition de cette hessienne en un point critique ${\displaystyle m}$, sans recourir à des cartes locales. En effet, le point ${\displaystyle m}$ admet pour image par ${\displaystyle \mathrm {d} _{m}f}$ l'élément nul ${\displaystyle 0_{m}}$ de la fibre en ${\displaystyle m}$ du fibré cotangent ${\displaystyle T^{\ast }M}$. L'application linéaire tangente ${\displaystyle T_{m}\mathrm {d} f}$ arrive donc dans l'espace tangent en ce point, qui admet une décomposition canonique ${\displaystyle T_{0_{m}}T^{\ast }M\simeq T_{m}M\oplus T_{m}^{\ast }M}$. La hessienne s'obtient en ne considérant que le deuxième terme de cette décomposition (le premier est trivial)[3]. On peut donc la voir comme une application bilinéaire

${\displaystyle \mathrm {Hess} _{m}(f):(v,w)\in T_{m}M\times T_{m}M\mapsto T_{m}(df)(v)(w).}$