Lemme de Hadamard

Soit ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ une fonction de classe ${\displaystyle C^{p}}$ avec ${\displaystyle p\geq 1}$. Alors pour tout ${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$, il existe des fonctions ${\displaystyle g_{1},\cdots g_{n}}$, de classe ${\displaystyle C^{p-1}}$ telles que pour tout ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$,

${\displaystyle f(x)=f(a)+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-a_{i})g_{i}(x).}$

On a ${\displaystyle f(x)-f(a)=\int _{0}^{1}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}f(a+t(x-a))~{\rm {d}}t}$ (second théorème fondamental de l'analyse).

Mais ${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}f(a+t(x-a))=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-a_{i}){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))}$ (théorème de dérivation des fonctions composées).

Le résultat s'ensuit, avec ${\displaystyle g_{i}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(x-a))~{\rm {d}}t}$ qui est ${\displaystyle C^{p-1}}$ en raison du théorème de dérivation sous le signe somme (règle de Leibniz).

• On a nécessairement ${\displaystyle g_{i}(a)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)}$.
• Les fonctions ${\displaystyle g_{i}}$ ne sont pas uniques.

Par application du lemme, on peut justifier que pour toute fonction lisse f telle que f(0) = 0, la fonction qui à x associe f(x)/x est lisse et bien définie. Par exemple, le sinus cardinal est bien défini.

• Fonction lisse
• Série de Taylor