Transvection

Soient f un endomorphisme d'un espace vectoriel E, H = Ker(f – id) l'ensemble des vecteurs invariants, et D = Im(f – id) (d'après le théorème du rang, dim(H) + dim(D) = dim(E)).

• On dit que f est une transvection si f est l'identité, ou si H est un hyperplan (base de la transvection) (ce qui revient à dire que D, direction de la transvection, est une droite) et D est inclus dans H (c'est-à-dire que pour tout x de E, f(x) – x appartient à H)[1].
• Condition équivalente 1 : f est linéaire, Ker(f – id) est l'espace tout entier ou un hyperplan, et (f – id)² = 0.
• Condition équivalente 2[2] : il existe une forme linéaire h sur E et un vecteur u de Ker(h) tels que pour tout x de E : f(x) = x + h(x)u.

Les transvections sont bijectives (f⁻¹(x) = x – h(x)u) et, en dimension finie, sont de déterminant 1 ; elles engendrent le groupe spécial linéaire SL(E) de E. L'ensemble des transvections de base H en forme un sous-groupe, isomorphe au groupe additif H (à u de H, faire correspondre la transvection x ↦ x + h(x)u).

Dans une base de E contenant une base de H dont l'un des vecteurs est un vecteur directeur de D, la transvection a pour matrice une matrice du type

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&&&0\\&1&&\lambda &\\&&\ddots &&\\&0&&1&\\&&&&1\end{pmatrix}}=I_{n}+\lambda E_{i,j}}$

avec i ≠ j, la matrice E_i,j étant constituée de zéros partout sauf un 1 en position (i, j).

Ces matrices I_n + λE_i,j sont appelées matrices élémentaires de transvection ; elles engendrent le groupe spécial linéaire SL_n(K).

La forme la plus réduite, qui est sa forme de Jordan, de la matrice d'une transvection différente de l'identité est

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{n-2}&{\begin{matrix}0&0\\\vdots &\vdots \\0&0\end{matrix}}\\{\begin{matrix}0&\ldots &0\\0&\ldots &0\end{matrix}}&{\begin{matrix}1&1\\0&1\end{matrix}}\end{pmatrix}}=I_{n}+E_{n-1,n}.}$

• 

  Illustration
  La transvection associée à la matrice ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}}}$,illustrée ci-contre. Dans R², considérons u définie par u: X=(x,y)→(x+2y,y)=(x,y)+y(2,0)=X+g(X)c où g:X=(x,y)→y est une forme linéaire et c=(2,0). u est la transvection d'hyperplan l'axe des abscisses et de droite l'axe des abscisses. On retrouve la forme (condition équivalente n°2 ) proposée dans la définition générale.
• Les transvections utilisées pour définir la courbe de Takagi.

Une transvection d'un espace affine E est soit l'identité, soit une application affine de E dans E dont l'ensemble des points invariants est un hyperplan H de E (base de la transvection) et telle que pour tout point M le vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {MM'}}}$ reste parallèle à H. Les vecteurs ${\displaystyle {\overrightarrow {MM'}}}$ forment alors une droite vectorielle ${\displaystyle {\overrightarrow {D}}}$ (direction de la transvection).

Une transvection affine a pour partie linéaire une transvection vectorielle. Réciproquement, les applications affines ayant pour partie linéaire une transvection vectorielle sont les transvections glissées, composée d'une transvection et d'une translation de vecteur parallèle à la base.

Étant donnés deux points A et A' tels que la droite (AA') est parallèle à un hyperplan H, mais non incluse dans cet hyperplan, il existe une unique transvection de base H envoyant A sur A' ; on obtient facilement l'image M' d'un point M par la construction de la figure ci-contre.

Si l'on plonge l'espace affine E dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini H' , on sait que l'on peut munir le complémentaire E' de l'hyperplan H d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de H dans E deviennent parallèles dans E' et celles qui sont parallèles dans E deviennent sécantes en un point de H' ).

À toute transvection d'hyperplan H de E est alors associée une application affine de E' qui n'est autre qu'une translation.

Les transvections sont donc en fait des « translations en perspective ». Si l'on regarde par avion une translation de vecteur parallèle à la ligne d'horizon, on voit une transvection (cf figure ci-contre).

Si maintenant on envoie un autre hyperplan que H et H' à l'infini, la transvection devient une homologie spéciale.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les translations, les transvections, et les homologies spéciales.

Soit f une transvection d'un espace euclidien, ${\displaystyle {\vec {n}}}$ un vecteur normal et normé de sa base et D sa direction de vecteur directeur normé ${\displaystyle {\vec {u}}}$.

Avec les notations ci-contre, on a

${\displaystyle {\overrightarrow {MM'}}=\lambda {\overline {HM}}{\vec {u}}.}$

Le nombre λ est alors le coefficient de la transvection, et son angle θ est défini par tan θ = λ.

Plongeons l'espace euclidien E_n de dimension n comme hyperplan d'un espace E_n+1 de dimension n+1 et faisons tourner E_n autour de son hyperplan H, de façon à en obtenir une copie ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n}}$.

Tout point M de E_n a une copie ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ dans ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n}}$, donc aussi l'image M' de M par une transvection de base H.

On montre que la droite ${\displaystyle (M{\tilde {M}}')}$ garde une direction fixe D, ce qui montre que ${\displaystyle {\tilde {M}}'}$ s'obtient par projection de M dans E_n+1 (projection de base ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n}}$ et de direction D)[3].

Source pour la partie projective : Alain Bigard, Géométrie, Cours et exercices corrigés pour le Capes et l'agrégation, Masson, 1998