Dilatation (géométrie)

Une dilatation d'un espace vectoriel E est une affinité de base un hyperplan, et de rapport non nul.

Les dilatations sont bijectives. L'ensemble des dilatations de base et direction fixées forme un sous-groupe du groupe linéaire GL(E), isomorphe au groupe multiplicatif du corps de base.

En dimension finie, un automorphisme de E est diagonalisable si et seulement s'il est produit commutatif de dilatations ; si de plus le corps de base a au moins 3 éléments, GL(E) est engendré par les dilatations.

Dans une base de ${\displaystyle E\,}$ formée de vecteurs de la base et de la direction de la dilatation, la dilatation a pour matrice une matrice du type ${\displaystyle \operatorname {diag} (1,1,..,1,\lambda ,1,..,1)=I_{n}+(\lambda -1)E_{ii}\,}$. Ces matrices sont donc appelées matrices de dilatation.

Une dilatation d'un espace affine E est une affinité de base un hyperplan, et de rapport non nul ; ce sont les applications affines de partie linéaire une dilatation vectorielle, sauf dans le cas du rapport 1.

Étant donnés deux points A et A' et un hyperplan H non parallèle à la droite (AA'), il existe une unique dilatation de base H envoyant A sur A' ; on obtient facilement l'image M' d'un point M par la construction :

En dimension finie, et si le corps de base a au moins 3 éléments, le groupe affine GA(E) est engendré par les dilatations.

Si l'on plonge l'espace affine ${\displaystyle E}$ dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini ${\displaystyle H'}$, on sait que l'on peut munir le complémentaire ${\displaystyle E'}$ de l'hyperplan ${\displaystyle H}$ d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de ${\displaystyle H}$ dans ${\displaystyle E}$ deviennent parallèles dans ${\displaystyle E'}$ et celles qui sont parallèles dans ${\displaystyle E}$ deviennent sécantes en un point de ${\displaystyle H'}$).

À toute dilatation d'hyperplan ${\displaystyle H}$ de ${\displaystyle E}$ est alors associée une application affine de ${\displaystyle E'}$ qui n'est autre qu'une homothétie.

Si maintenant on envoie un autre hyperplan que ${\displaystyle H}$ et ${\displaystyle H'}$ à l'infini, la dilatation devient une homologie non spéciale.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les homothéties, les dilatations, et les homologies non spéciales.

Ce sont, dans le cas euclidien, les dilatations dont la base est orthogonale à la direction. Elles contiennent comme cas particulier les réflexions.

Plongeons l'espace euclidien ${\displaystyle E_{n}\,}$ de dimension n comme hyperplan d'un espace ${\displaystyle E_{n+1}\,}$ de dimension n+1 et faisons tourner ${\displaystyle E_{n}\,}$ autour de son hyperplan ${\displaystyle H\,}$, de façon à en obtenir une copie ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n}\,}$.

Tout point ${\displaystyle M\,}$ de ${\displaystyle E_{n}\,}$ a une copie ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ dans ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n}\,}$, donc aussi l'image ${\displaystyle M'\,}$ de ${\displaystyle M\,}$ par une dilatation de base ${\displaystyle H\,}$.

On montre que la droite ${\displaystyle (M{\tilde {M}}')}$ garde une direction fixe ${\displaystyle D\,}$, ce qui montre que ${\displaystyle {\tilde {M}}'}$ s'obtient par projection de ${\displaystyle M\,}$ dans ${\displaystyle E_{n+1}\,}$ (projection de base ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n}\,}$ et de direction ${\displaystyle D\,}$).

Voir ici une réalisation concrète de ce procédé.