Réflexion (mathématiques)

Dans un plan vectoriel euclidien rapporté à une base orthonormée,

• la réflexion par rapport à l'axe des ${\displaystyle x}$ est l'application

${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y)}$ ;

• la réflexion par rapport à l'axe des ${\displaystyle y}$ est l'application

${\displaystyle (x,y)\mapsto (-x,y)}$ ;

• la réflexion par rapport à l'axe ${\displaystyle y=x}$ est l'application

${\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}$ ;

• la réflexion par rapport à l'axe ${\displaystyle y=-x}$ est l'application

${\displaystyle (x,y)\mapsto (-y,-x)}$.

Les réflexions vectorielles d'un espace euclidien peuvent s'exprimer à l'aide d'un vecteur ${\displaystyle k\neq 0}$ normal à l'hyperplan de réflexion :

${\displaystyle s(x)=x-2{\frac {<x|k>}{\|k\|^{2}}}k}$

Ce sont des isométries vectorielles de déterminant -1. Elles conservent le produit scalaire mais elle transforment toute base orthonormée en une base orthonormée d'orientation contraire. On reconnaît dans la réflexion l'expression de la projection orthogonale sur la droite engendrée par k : ${\displaystyle s=\mathrm {Id} -2p_{k}}$ ; la réflexion est donc aussi un endomorphisme autoadjoint.

Selon le théorème de Cartan-Dieudonné, les réflexions engendrent le groupe orthogonal. Plus précisément, en dimension n, toute isométrie vectorielle est produit d'au plus n réflexions[1].

En base orthonormale, les réflexions ont pour matrices représentatives les matrices de Householder qui interviennent par exemple dans l'algorithme de décomposition QR.